[论文解读] On The Solutions of The Equation (4^n)^x+p^y=z^2

Bilge Peker, Selin Cenberci|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文研究了奇素数 $p$ 和非负整数 $x, y, z$ 下的指数丢番图方程 $(4^n)^x + p^y = z^2$ 的解。利用卡塔兰猜想和因式分解技巧，证明了当 $p = 3$ 时存在解（例如 $x=1, y=2, z=5$ 或 $x=2, y=2, z=5$），以及当 $p = 1 + 2^{nk+1}$ 时，存在解 $(x,y,z) = (k,1,2^{nk}+1)$，其中 $k$ 为非负整数。该工作推广了关于 $16^x + p^y = z^2$ 和 $64^x + p^y = z^2$ 的先前结果。

ABSTRACT

In this paper, we gave solutions of the Diophantine equations 16^{x}+p^{y}=z^{2}, 64^{x}+p^{y}=z^{2} where p is an odd prime, n is a positive integer and x,y,z are non-negative integers. Finally we gave a generalization of the Diophantine equation (4^{n})^{x}+p^{y}=z^{2}.

研究动机与目标

• 确定奇素数 $p$ 下，丢番图方程 $(4^n)^x + p^y = z^2$ 的所有非负整数解 $(x, y, z)$。
• 推广关于特定情形 $16^x + p^y = z^2$ 和 $64^x + p^y = z^2$ 的先前结果。
• 应用卡塔兰猜想和因式分解方法，根据指数 $y$ 和素数 $p$ 对解进行分类。
• 为所有正整数 $n$ 建立统一框架，以求解 $(4^n)^x + p^y = z^2$。

提出的方法

• 将 $z^2 - (4^n)^x = p^y$ 因式分解为 $(z - 2^{nx})(z + 2^{nx}) = p^y$，以利用素数幂的结构特性。
• 假设 $z - 2^{nx} = p^v$ 且 $z + 2^{nx} = p^{y-v}$，其中 $y > 2v$，推导出 $p^{y-v} - p^v = 2^{nx+1}$。
• 基于 $v = 0$ 和 $y = 1$ 的情形进行分析，分别得到 $p^y - 2^{nx+1} = 1$ 和 $p = 1 + 2^{nx+1}$。
• 将卡塔兰猜想应用于方程 $p^y - 2^{nx+1} = 1$，唯一确定当 $y>1$ 且 $v=0$ 时，解为 $p=3$，$y=2$，$nx+1=3$。
• 通过卡塔兰猜想评估边界情形，如 $x=0$ 和 $y=0$，以排除或确认额外解。
• 通过用 $n$、$k$ 和 $p = 1 + 2^{nk+1}$ 表达解，将结果推广至所有 $n \in \mathbb{Z}^+$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇素数 $p$，方程 $(4^n)^x + p^y = z^2$ 的完整非负整数解集 $(x, y, z)$ 是什么？
• RQ2 解如何随 $n$ 的不同值变化，特别是当 $n=1$、$n=2$ 和 $n=3$ 时？
• RQ3 在什么条件下，方程 $(4^n)^x + p^y = z^2$ 在 $y=1$ 时存在解？
• RQ4 卡塔兰猜想能否完全分类 $y>1$ 且 $v=0$ 时的解？
• RQ5 对于任意正整数 $n$，解的一般形式是什么？该形式如何统一 $16^x + p^y = z^2$ 和 $64^x + p^y = z^2$ 的先前结果？

主要发现

• 当 $p = 3$ 时，方程 $(4^n)^x + 3^y = z^2$ 在 $n=1$ 时有解 $(x, y, z) = (1, 2, 5)$，在 $n=2$ 时有解 $(x, y, z) = (2, 2, 5)$。
• 当 $y = 1$ 时，若 $p = 1 + 2^{nk+1}$，则存在解 $(x, y, z) = (k, 1, 2^{nk} + 1)$，其中 $k$ 为非负整数。
• 当 $n=1$ 时，解族 $(x, y, z) = (k, 1, 2^k + 1)$ 且 $p = 1 + 2^{k+1}$ 与 Chotchaisthit (2011) 的已知结果一致。
• 当 $n=2$ 时，解 $(x, y, z) = (k, 1, 2^{2k} + 1)$ 且 $p = 1 + 2^{2k+1}$ 推广了关于 $16^x + p^y = z^2$ 的定理2。
• 当 $n=3$ 时，解 $(x, y, z) = (k, 1, 2^{3k} + 1)$ 且 $p = 1 + 2^{3k+1}$ 验证了关于 $64^x + p^y = z^2$ 的定理3。
• 当 $x = 0$ 时，得到 $z^2 - p^y = 1$，由卡塔兰猜想得 $p=2$，$y=3$，$z=3$，但此解无效，因为 $p$ 必须为奇素数，故此情形无解。