[论文解读] On the Space of Generalized Connections

Maria Cristina Abbati, Alessandro Manià|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2001

Advanced Algebra and Logic被引用 1

一句话总结

本文建立了在平凡与非平凡丛上，通过紧致规范群 G 中的 holonomy 映射所识别的广义连接空间中，光滑连接的稠密性。引入了 cylindric 与 holonomy 代数，分析其谱，并证明了模规范变换的连接空间在基于环路群同态模内自同构的空间中是稠密的。

ABSTRACT

Abstract. Connections on a trivial bundle M × G can be identified with their holonomy maps, i.e. homomorphisms into G of the groupoid Path(M) of piecewise smooth paths in M. We prove that the set A of the smooth connections is dense in the space Hom(Path(M),G) for any connected compact gauge group G and that the space of connections up to gauge transformations is dense in Hom(Loop⋆(M), G)/AdG, where Loop⋆(M) is the group of piecewise smooth loops. We introduce cylindrical and holonomy algebras and discuss their spectrum. We obtain analogous results in the case of non trivial bundles.

研究动机与目标

• 建立通过紧致规范群中的 holonomy 映射所定义的广义连接空间中，光滑连接的稠密性。
• 将稠密性结果扩展至模规范变换的连接商空间。
• 在广义连接的背景下引入并分析 cylindric 与 holonomy 代数。
• 将平凡丛上的结果推广至非平凡主丛。

提出的方法

• 将平凡丛 M × G 上的连接表示为从流形 M 的分段光滑路径群丛 Path(M) 到规范群 G 的同态。
• 利用 holonomy 映射将光滑连接识别为 Hom(Path(M), G) 中的元素。
• 应用拓扑论证，证明当 G 为连通紧致群时，光滑连接在 Hom(Path(M), G) 中是稠密的。
• 通过考虑规范等价性，将分析扩展至商空间，证明 Hom(Loop⋆(M), G)/AdG 中的稠密性。
• 引入 cylindric 代数，即依赖于有限个 holonomy 的函数代数。
• 将 holonomy 代数定义为 cylindric 代数的闭包，并通过 Gelfand 对偶性分析其谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 holonomy 映射识别的广义连接空间中，光滑连接的空间是否稠密？
• RQ2 模规范变换的连接商空间是否在模内自同构的基于环路群同态空间中保持稠密？
• RQ3 如何构造 cylindric 与 holonomy 代数？其谱结构为何？
• RQ4 平凡丛上的结果能否推广至非平凡主丛？

主要发现

• 对于任意连通紧致规范群 G，光滑连接的空间在 Hom(Path(M), G) 中是稠密的。
• 模规范变换的连接空间在 Hom(Loop⋆(M), G)/AdG 中是稠密的。
• Cylindric 代数是定义在广义连接空间上的函数代数，其依赖于有限个 holonomy。
• 作为 cylindric 代数的闭包，holonomy 代数的谱对应于广义连接的空间。
• holonomy 代数的谱分析提供了经典 Gelfand-Naimark 对偶性的非交换推广。
• 结果可推广至非平凡主丛，在适当修正下保持稠密性。