[论文解读] On the space of morphisms between étale groupoids

André Haefliger|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在适当条件下，为两个étale群胚之间的带基点态射空间构造了Banach流形结构，表明该空间可被解释为另一个étale群胚的轨道空间。其主要贡献在于几何化地实现了态射空间作为轨道空间，推广了先前关于轨道丛和叶状结构的结果。

ABSTRACT

Given two étale groupoids $\Cal G$ and $\Cal G'$, we consider the set of pointed morphisms from $\Cal G$ to $\Cal G'$. Under suitable hypothesis we introduce on this set a structure of Banach manifold which can be considered as the space of objects of an étale groupoid whose space of orbits is the space of morphisms from $\Cal G$ to $\Cal G'$.

研究动机与目标

• 为étale群胚之间的态射空间提供一个几何与拓扑框架。
• 将先前关于从圆周到轨道丛的态射结果推广至任意étale群胚。
• 在带基点态射的集合上建立Banach流形结构，从而实现态射空间的群胚理论解释。
• 阐明余胞与扩张在分类态射及自同构中的作用。
• 纠正并扩展文献中关于扩张与障碍类的早期结果。

提出的方法

• 通过局部截面与芽的结构，为étale群胚之间的带基点态射集合引入拓扑。
• 利用局部平凡化与连续提升，为带基点态射空间构造Banach流形结构。
• 使用芽群胚构造，将态射与局部数据关联，并定义自然变换。
• 应用$(\Cal{G}', \Cal{G})$-丛与余胞的理论，通过等变结构参数化态射。
• 依赖群胚在开覆盖上的局部化，将整体问题约化为局部问题。
• 采用层论与上同调工具，特别是系数取自群中心的$\check{H}^2$与$\check{H}^3$，对扩张与障碍进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个étale群胚之间的态射空间可赋予Banach流形结构？
• RQ2 如何将态射空间实现为另一个étale群胚的轨道空间？
• RQ3 余胞与主丛在参数化étale群胚之间态射的过程中起何作用？
• RQ4 Čech上同调中的障碍类如何对由离散群扩张étale群胚进行分类？
• RQ5 作用群胚$\Gamma \ltimes G$的带基点自同构群的结构是什么？

主要发现

• 在适当假设下，从étale群胚$\Cal{G}$到$\Cal{G}'$的带基点态射集合可赋予Banach流形结构。
• 该Banach流形可被解释为一个étale群胚的态射空间，其轨道空间即为从$\Cal{G}$到$\Cal{G}'$的态射空间。
• $\Gamma \ltimes G$的带基点自同构群同构于$G \rtimes \mathrm{Aut}(G, \Gamma)$，其中$\mathrm{Aut}(G, \Gamma)$依赖于$\Gamma \subset G$的算术性质。
• 当$G = \mathbb{R}$且$\Gamma$由两个比值为无理数的元素生成时，若该比值为超越数，则$\mathrm{Aut}(G, \Gamma) = \{ \pm 1 \}$；否则为$\mathbb{Q}(\alpha)$的单位群。
• 由paracompact流形$W$对$\Gamma \ltimes G$的扩张，由从$W$到分类空间$B_{(G,\Gamma)}$的同伦类分类，其中$B_{(G,\Gamma)}$是与交叉模$\mu: \Gamma \to G \rtimes \mathrm{Aut}(G, \Gamma)$相关的2-群的单纯复形的几何实现。
• 当且仅当$\check{H}^3(\Cal{G}, \Cal{C})$中的某个障碍类为零时，$\Cal{G}$对离散群$N$的拓扑分裂扩张存在，且等价类的集合与$\check{H}^2(\Cal{G}, \Cal{C})$之间存在双射。