[论文解读] On the space of Type-2 interval with limit, continuity and differentiability of Type-2 interval-valued functions

Sadikur Rahman, Ali Akbar Shaikh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文引入了二型区间值函数，其中两端点均为区间，并通过扩展的摩尔距离建立了完备的度量空间。定义了这些函数的极限、连续性及 gH-可微性，证明了该空间的完备性，并推导出二型设定下广义 Hukuhara 可微性的基础性质。

ABSTRACT

This paper deals with the new concept of interval whose both the bounds themselves are also intervals. We name this new type of interval as Type-2 interval. Here we have introduced Type-2 interval-valued function and its properties. To serve this purpose, we have defined a distance on the set of all Type-2 intervals, named as extended Moore distance for Type-2 intervals which is a metric on the set of all Type-2 intervals. Then we have shown that the space of Type-2 interval is a complete metric space with respect to extended Moore distance. Then we have introduced the concept of limit-continuity for Type-2 interval-valued function of single variable and also, we have derived some elementary properties of this concept. Subsequently, we have presented the idea of generalised Hukuhara difference on the set of Type-2 intervals. Finally, using this difference, we have defined gH-differentiability of Type-2 interval-valued function and discussed some of its properties.

研究动机与目标

• 形式化一类新型区间——二型区间，其中上下界均为区间，以支持更高阶不确定性的建模。
• 在二型区间集合上定义一种度量，命名为扩展摩尔距离，以支持拓扑与分析运算。
• 在扩展摩尔距离下，建立二型区间空间为完备度量空间。
• 为单变量二型区间值函数引入极限与连续性的概念。
• 为二型区间值函数定义广义 Hukuhara 可微性，并探讨其性质。

提出的方法

• 将扩展摩尔距离定义为二型区间集合上的度量，确保空间的完备性。
• 本文构建了二型区间的空间，并证明其在扩展摩尔距离下是完备的。
• 二型区间值函数的极限与连续性定义方式类似于实值函数，但已适配至区间值边界。
• 在二型区间集合上引入广义 Hukuhara 差，以支持导数定义。
• 通过广义 Hukuhara 差定义 gH-可微性，将经典可微性推广至二型区间值函数。
• 推导出 gH-可微性的基本性质，包括在特定条件下的线性性与链式法则类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二型区间（其中两端点均为区间）构建一个完备度量空间？
• RQ2 如何有意义地将极限与连续性的概念扩展至二型区间值函数？
• RQ3 对于二型区间，Hukuhara 差的适当推广是什么，以实现可微性？
• RQ4 如何定义 gH-可微性，其在二型区间值函数语境下满足哪些性质？
• RQ5 扩展摩尔距离在确保二型区间空间中拓扑与分析一致性方面起什么作用？

主要发现

• 配备扩展摩尔距离的二型区间空间构成一个完备度量空间。
• 扩展摩尔距离满足度量空间的所有公理，从而支持收敛性与连续性的严格分析。
• 二型区间值函数的极限与连续性定义良好，并满足经典实分析性质的类比。
• 引入广义 Hukuhara 差，并证明其与二型区间的结构一致。
• 为二型区间值函数定义了 gH-可微性，并推导出其基本性质，如线性性。
• 该框架为二型区间值函数微积分的进一步发展提供了基础，包括不确定性下的积分与优化。