[论文解读] On The Spaces of Fibonacci Difference Null and Convergent Sequences

Metin Başarır, Feyzı Başar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2013

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文通过斐波那契差分矩阵 $\widehat{F}$（基于斐波那契数列定义）引入并分析了序列空间 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$。研究建立了包含关系，构造了Schauder基，计算了alpha-、beta-和gamma-对偶，并表征了这些空间与其他经典序列空间之间的矩阵变换。

ABSTRACT

In the present paper, by using the band matrix F defined by the Fibonacci sequence, we introduce the sequence sequence spaces c_0(F) and c(F). Also, we give some inclusion relations and construct the bases of the spaces c_0(F) and c(F). Finally, we compute the alpha-, beta-, gamma-duals of these spaces and characterize the classes (c_0(F),X) and (c(F),X) for certain choice of the sequence space X.

研究动机与目标

• 通过斐波那契差分矩阵 $\widehat{F}$ 定义新的序列空间 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$，扩展差分序列空间的理论。
• 建立 $c_0(\widehat{F})$、$c(\widehat{F})$ 与经典序列空间之间的包含关系。
• 为空间 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 构造Schauder基。
• 计算 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 的alpha-、beta-和gamma-对偶。
• 表征从和到这些空间的矩阵变换类 $(c_0(\widehat{F}), X)$ 和 $(c(\widehat{F}), X)$，其中 $X$ 为各种序列空间。

提出的方法

• 通过斐波那契数列 $(f_n)$ 定义斐波那契差分矩阵 $\widehat{F}$，其中每一行对应三个连续项的线性组合。
• 引入序列空间 $c_0(\widehat{F}) = \{x \in \omega : \widehat{F}x \in c_0\}$ 和 $c(\widehat{F}) = \{x \in \omega : \widehat{F}x \in c\}$，分别表示 $\widehat{F}$ 在 $c_0$ 和 $c$ 中的矩阵定义域。
• 通过比较 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 中序列的增长与收敛行为，与 $\ell_p$、$c_0$、$c$ 及其他经典空间进行对比，建立包含关系。
• 利用标准基序列 $e^{(n)}$ 及其在 $\widehat{F}^{-1}$ 下的变换，为 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 构造Schauder基。
• 使用标准对偶理论和矩阵变换准则，计算 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 的alpha-、beta-和gamma-对偶。
• 通过涉及极限与一致有界的无限矩阵条件系统，表征 $X \in \{\ell_\infty, f, c, f_0, c_0, bs, fs, \ell_1\}$ 时的矩阵类 $(c_0(\widehat{F}), X)$ 和 $(c(\widehat{F}), X)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过斐波那契差分矩阵定义的序列空间 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 的结构特性是什么？
• RQ2 在包含关系方面，$c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 与 $c_0$、$c$、$\ell_p$ 和 $\ell_\infty$ 等经典序列空间有何关联？
• RQ3 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 的Schauder基是什么？
• RQ4 $c_0(\widehat{F})$ 和 $c(\widehat{F})$ 的alpha-、beta-和gamma-对偶分别是什么？
• RQ5 哪些无限矩阵将 $c_0(\widehat{F})$ 或 $c(\widehat{F})$ 映射到其他经典序列空间，以及此类变换的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 序列空间 $c_0(\widehat{F})$ 是 $c(\widehat{F})$ 的真子空间，且在矩阵定义域诱导的范数下，两者均为 $BK$-空间。
• $c_0(\widehat{F})$ 的Schauder基由集合 $\{b^{(k)}\}_{k=1}^\infty$ 给出，其中 $b^{(k)} = \widehat{F}^{-1}e^{(k)}$，$c(\widehat{F})$ 的情况类似。
• $c_0(\widehat{F})$ 的alpha-对偶由所有满足 $\sum_{k=0}^\infty |y_k| < \infty$ 的序列 $y$ 构成，而beta-和gamma-对偶则通过矩阵元素的特定有界性与收敛性条件表征。
• 类 $(c_0(\widehat{F}), \ell_1)$ 由条件 (4.11)、(4.12) 和 (4.15) 表征，其中包含行和的一致有界性与列和的收敛性。
• 类 $(c(\widehat{F}), c)$ 由条件 (4.11)、(4.12)、(4.13)、(4.14)、(4.16) 和 (4.17) 表征，确保矩阵变换收敛到有限极限。
• 类 $(c(\widehat{F}), f_0)$ 由条件 (4.11)、(4.12)、(4.16)、(4.17) 及额外要求 $\alpha_k = 0$ 对所有 $k$ 成立表征，反映了目标空间中零序列的条件。