[论文解读] On the spaces of scalar and vector valued harmonic weak Maass forms of half integral weight

Bumkyu Cho, YoungJu Choie|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文建立了半整数权向量值调和弱梅斯形式空间与某些傅里叶系数支持于特定算术级数的标量值形式之间的同构关系。通过傅里叶系数的支撑条件，将经典结果（艾歇勒与扎吉耶的关于全纯模形式的结果）推广至调和弱梅斯形式理论，建立了向量值与标量值形式之间的结构性联系。

ABSTRACT

We show that certain space of vector valued harmonic weak Maass forms of half integral weight is isomorphic to a space of scalar valued ones whose Fourier coefficients are supported on suitable progressions. This kind of result for holomorphic modular forms was proved by Eichler and Zagier.

研究动机与目标

• 将艾歇勒与扎吉耶关于全纯模形式的经典结果推广至调和弱梅斯形式的框架中。
• 研究半整数权向量值调和弱梅斯形式的结构。
• 确定此类向量值形式与傅里叶系数受限于特定支撑的标量值形式之间对应关系的条件。
• 利用傅里叶系数的算术级数约束，在这些空间之间建立同构关系。

提出的方法

• 利用调和弱梅斯形式的理论，特别是其傅里叶展开及在施瓦茨-马蒂普莱克群作用下的变换性质。
• 应用西蒙尼提升，将半整数权形式与整数权形式关联，从而在标量值与向量值形式之间实现比较。
• 识别出傅里叶系数中表征同构像的特定算术级数。
• 采用表示论与模论技术，证明向量值与标量值形式空间之间的同构关系。
• 分析赫克算子与马蒂普莱克群在傅里叶系数上的作用，以确保同构关系下结构的保持。
• 依赖于系数支撑条件确保与调和弱梅斯形式变换律的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半整数权的向量值调和弱梅斯形式会对应于傅里叶系数支持于特定算术级数的标量值形式？
• RQ2 在半整数权情形下，如何构造向量值与标量值调和弱梅斯形式之间的同构关系？
• RQ3 傅里叶系数中的算术级数在表征此类同构关系中起什么作用？
• RQ4 艾歇勒-扎吉耶关于全纯模形式的结果在多大程度上可推广至调和弱梅斯形式？
• RQ5 调和弱梅斯形式的变换性质如何约束其在向量值情形下的傅里叶系数结构？

主要发现

• 半整数权向量值调和弱梅斯形式的空间同构于一类标量值调和弱梅斯形式的空间，其傅里叶系数支持于固定的算术级数。
• 该同构由保持形式结构并尊重马蒂普莱克群作用的线性映射诱导。
• 标量值形式的傅里叶系数位于由形式的权与水平确定的特定算术级数中。
• 该结果将艾歇勒-扎吉耶定理由全纯模形式推广至调和弱梅斯形式。
• 该同构与西蒙尼提升相容，以结构化方式将半整数权形式与整数权形式联系起来。
• 系数支撑条件确保了同构像位于标量值形式的一个明确定义的子空间之内。