[论文解读] On the Spanier Groups and Covering and Semicovering Spaces

Hamid Torabi, Ali Pakdaman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文通过基本群的准拓扑基本群中其核心的开性，建立了作为覆盖空间的子群的刻画。证明了子群 $ H \leq \pi_1(X,x) $ 当且仅当其核心在 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开时，对应于一个覆盖空间，并通过引入路径史宾纳群，将该结果推广至半覆盖空间，证明了每个半覆盖均来自一个路径开覆盖。主要贡献在于利用拓扑与准拓扑基本群，对覆盖空间与半覆盖空间的分类进行了更正。

ABSTRACT

For a connected, locally path connected space $X$, let $H$ be a subgroup of the fundamental group of $X$, $π_1(X,x)$. We show that there exists an open cover $\cal U$ of $X$ such that $H$ contains the Spanier group $π({\U},x)$ if and only if the core of $H$ in $π_1(X,x)$ is open in the quasitopological fundamental group $π_1^{qtop}(X,x)$ or equivalently it is open in the topological fundamental group $π_1^τ(X,x)$. As a consequence, using the relation between the Spanier groups and covering spaces, we give a classification for connected covering spaces of $X$ based on the conjugacy classes of subgroups with open core in $π_1^{qtop}(X,x)$. Finally, we give a necessary and sufficient condition for the existence of a semicovering. Moreover, we present a condition under which every semicovering of $X$ is a covering.

研究动机与目标

• 更正Biss对覆盖空间分类的错误，其错误假设所有纤维为离散的纤维丛均为覆盖空间。
• 建立子群 $ \pi_1(X,x) $ 的必要与充分条件，使其作为覆盖空间的像被实现，条件为该子群在其核心于 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开。
• 通过引入路径史宾纳群，将分类推广至半覆盖空间，并将其与 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中的开子群联系起来。
• 确定在何种条件下每个半覆盖均为覆盖，特别是当空间满足半局部小生成性时。

提出的方法

• 引入路径开覆盖 $ \mathcal{V} $，并定义路径史宾纳群 $ \widetilde{\pi}(\mathcal{V},x) $ 为 $ \pi_1(X,x) $ 的子群，证明其在 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开。
• 证明子群 $ H \leq \pi_1(X,x) $ 包含某个史宾纳群 $ \pi(\mathcal{U},x) $ 当且仅当其核心在 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开。
• 利用 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 与 $ \pi_1^\tau(X,x) $ 中开子群的等价性，统一两种拓扑下的结果。
• 应用定理1.1（史宾纳的覆盖准则）证明：若 $ \pi(\mathcal{U},x) \leq H $，则 $ H $ 可作为覆盖空间的像被实现。
• 引入半局部小生成性的概念，并利用其证明在此条件下所有半覆盖均为覆盖。
• 借助 $ \pi_1^\tau(X,x) $ 中开子群对半覆盖的分类，将史宾纳定理推广至半覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，子群 $ H \leq \pi_1(X,x) $ 存在开覆盖 $ \mathcal{U} $，使得 $ \pi(\mathcal{U},x) \leq H $？
• RQ2 子群 $ H $ 在 $ \pi_1(X,x) $ 中的核心在 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开，当且仅当 $ H $ 包含某个史宾纳群 $ \pi(\mathcal{U},x) $？
• RQ3 能否对基于 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开子群的覆盖空间分类进行精确化，并修正先前工作的错误？
• RQ4 在何种条件下，空间 $ X $ 的每个半覆盖必为覆盖？
• RQ5 路径史宾纳群 $ \widetilde{\pi}(\mathcal{V},x) $ 在刻画 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 的开子群中起何作用？

主要发现

• 子群 $ H \leq \pi_1(X,x) $ 可作为覆盖空间的像被实现，当且仅当其核心在 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开，从而提供了对覆盖空间的更正分类。
• 子群 $ H $ 的核心在 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开，当且仅当存在 $ X $ 的开覆盖 $ \mathcal{U} $，使得 $ H $ 包含史宾纳群 $ \pi(\mathcal{U},x) $。
• 与路径开覆盖 $ \mathcal{V} $ 关联的路径史宾纳群 $ \widetilde{\pi}(\mathcal{V},x) $ 是 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 的开子群，且每个开子群均可如此构造。
• 对于连通、局部道路连通、仿紧且豪斯多夫的空间 $ X $，子群 $ H \leq \pi_1(X,x) $ 在形状拓扑中开，当且仅当其核心在 $ \pi_1^{qtop}(X,x) $ 中开。
• 若空间 $ X $ 满足半局部小生成性，则其每个半覆盖均为覆盖，该条件比半局部单连通性更弱。
• 本文通过证明Biss分类的假设（即所有纤维为离散的纤维丛均为覆盖）不成立，并给出利用夏威夷项圈构造的反例，提供了Biss分类的更正版本。