[论文解读] On the Spectral Equivalence of Koopman Operators through Delay Embedding

Yoshihiko Susuki, Kyoichi Sako+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了保测度动力系统其Koopman算子与其延迟嵌入重构之间谱等价性，证明了可通过对时间序列数据应用扩展动态模式分解（EDMD）可靠估计原系统的特征值与特征函数。关键结果为：在重构空间上的Koopman算子与原算子酉等价，确保对紧致且保测度系统而言，延迟嵌入下谱性质保持不变。

ABSTRACT

We provide one theorem of spectral equivalence of Koopman operators of an original dynamical system and its reconstructed one through the delay-embedding technique. The theorem is proved for measure-preserving maps (e.g. dynamics on compact attractors) and provides a mathematical foundation of computing spectral properties of the Koopman operators by a combination of extended dynamic mode decomposition and delay-embedding.

研究动机与目标

• 建立利用延迟嵌入技术从标量时间序列估计Koopman算子谱的数学基础。
• 解决Koopman算子谱性质在保测度动力系统下是否在延迟嵌入中保持不变这一基本问题。
• 验证在重构状态动力学上应用扩展动态模式分解（EDMD）作为近似原系统Koopman谱的可靠方法。
• 通过酉等价性形式化原系统与重构系统Koopman算子之间的关系。

提出的方法

• 利用Takens嵌入定理，通过单个可观测量及其时间滞后版本构建状态空间的延迟嵌入重构。
• 定义从原流形M到重构空间Φ(M) ⊂ ℝ^(2m+1)的同胚φ，实现原映射与重构映射之间的交换图。
• 引入复合算子C_φ: L₂(φ(M)) → L₂(M)，定义为g ↦ g∘φ，将重构空间上的可观测量映射回原空间。
• 证明在保测度条件下，C_φ为酉算子，确保内积结构与谱结构的等距保持。
• 建立原空间与重构空间上Koopman算子之间的交换关系：C_φ ∘ U_~T = U_T ∘ C_φ。
• 证明谱等价性源于通过复合算子C_φ实现的Koopman算子酉等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 保测度动力系统的Koopman算子谱在延迟嵌入重构下是否保持等价？
• RQ2 对延迟嵌入数据应用扩展动态模式分解（EDMD）是否能可靠估计原系统的Koopman谱？
• RQ3 通过延迟嵌入，原系统与重构系统Koopman算子之间的数学关系为何？
• RQ4 在何种条件下，从重构空间到原空间的复合算子C_φ为酉算子，从而确保谱等价性？

主要发现

• 当T为保测度时，原系统上的Koopman算子U_T与重构系统上的Koopman算子U_~T在谱上等价。
• 复合算子C_φ: g ↦ g∘φ为酉算子，确保原空间与重构空间之间内积结构与谱性质的保持。
• 谱等价性由通过同胚φ与T的保测度性质所保证的Koopman算子酉等价性所确保。
• 该结果验证了在延迟嵌入数据上应用EDMD以估计原Koopman算子特征值与特征函数的可靠性。
• 原Koopman算子的特征函数与特征分布可通过C_φ的逆运算重构，尽管在实际中φ与C_φ通常未知。