[论文解读] On the spectral gap of random quantum channels

Carlos E. González-Guillén, Marius Junge+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 27被引用 7

一句话总结

该论文建立了由哈尓分布等距算子诱导的随机量子通道谱隙的紧下界，证明当 $k \geq 169$ 时，这些通道是量子扩展器。结果表明，在典型条件下，无限平移不变矩阵乘积态（TI-MPS）的约化密度矩阵满足最大熵原理，冯 Neumann 熵趋近于 $l \log k$，误差项为 $O(D^{-1/5})$。

ABSTRACT

In this work, we prove a lower bound on the difference between the first and second singular values of quantum channels induced by random isometries, that is tight in the scaling of the number of Kraus operators. This allows us to give an upper bound on the difference between the first and second largest (in modulus) eigenvalues of random channels with same large input and output dimensions for finite number of Kraus operators $k\geq 169$. Moreover, we show that these random quantum channels are quantum expanders, answering a question posed by Hastings. As an application, we show that ground states of infinite 1D spin chains, which are well-approximated by matrix product states, fulfill a principle of maximum entropy.

研究动机与目标

• 建立由哈尓分布等距算子诱导的随机量子通道谱隙的紧下界，特别是针对有限 $k \geq 169$ 的情况。
• 证明此类随机量子通道是量子扩展器，将 Hastings 的结果推广至基于等距算子的模型。
• 证明无限平移不变矩阵乘积态（TI-MPS）的约化密度矩阵在典型条件下满足最大熵原理。
• 利用随机矩阵理论工具，分析通道动力学收敛至具有高冯 Neumann 熵的不动点的过程。
• 在大键维数极限下，提供 TI-MPS 约化密度矩阵纯度与熵的定量界限。

提出的方法

• 使用 Weingarten 微积分计算随机等距算子的矩，推导算子范数的渐近期望。
• 应用与量子通道相关超算子奇异值的上下界，借助随机矩阵理论。
• 采用耦合论证，通过 $\Phi^t(\mathrm{I}/D)$ 近似通道 $\Phi$ 的不动点，降低对显式不动点 $\Lambda_\Phi$ 的依赖。
• 利用单位酉群上利普希茨函数的测度集中性控制约化密度矩阵二阶矩的波动。
• 依赖通道 $\Phi$ 的谱隙来界定 $\Phi^t(\mathrm{I}/D)$ 收敛至不动点 $\Lambda_\Phi$ 的速率。
• 建立 $\|\Lambda_\Phi - \Phi^t(\mathrm{I}/D)\|_1 \leq \lambda_2^t(\Phi) \sqrt{D}$，其中 $\lambda_2(\Phi)$ 为通道的第二大奇异值。

实验结果

研究问题

• RQ1 由哈尓分布等距算子诱导的随机量子通道的谱隙是多少？其随 Kraus 算子数量 $k$ 如何变化？
• RQ2 此类随机量子通道是否为量子扩展器？这一性质在有限 $k$ 时是否成立？
• RQ3 无限 TI-MPS 的约化密度矩阵是否满足最大熵原理？其收敛至最大熵的速率如何？
• RQ4 在大键维数 $D$ 极限下，约化密度矩阵 $\rho_l$ 的纯度行为如何？
• RQ5 通道的不动点能否被 $t$ 步演化后的极大混合态良好近似？误差是多少？

主要发现

• 当 $k \geq 169$ 时，由哈尓分布等距算子诱导的随机量子通道的谱隙有下界，确认其为量子扩展器。
• 第二大奇异值 $\lambda_2(\Phi)$ 满足 $\lambda_2(\Phi) \leq 1/\sqrt{k}$（至多常数因子），与 Hastings 和 Pisier 的已知界限一致。
• 在 $D \to \infty$ 时，约化密度矩阵的二阶矩以高概率满足 $\mathrm{tr}(\rho_l^2) \leq 1/k^l + O(D^{-1/5})$。
• 当 $l \ll D^{1/5}$ 时，算子范数偏差满足 $\|\rho_l - \mathrm{I}/k^l\|_\infty \leq O(D^{-1/10})$，表明其与极大混合态具有高保真度。
• 约化密度矩阵 $\rho_l$ 的冯 Neumann 熵为 $S(\rho_l) = l \log k - k^l O(D^{-1/5})$，且在 $D$ 上以指数小概率不成立。
• 通道 $\Phi$ 的不动点 $\Lambda_\Phi$ 具有大的冯 Neumann 熵，支持其量子扩展器性质及最大熵原理。