[论文解读] On the spectral moment of trees with given degree sequences

Li Shuchao, Yibing Song|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Graph theory and applications参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文通过谱矩确定给定度序列的所有树中S序的最后一个树，证明了通过广度优先搜索和度序列排序唯一构造的树T*是S序中的最大元素。该结果可推广至具有固定最大度、独立数和匹配数的树，同样识别出T*为这些类中S序的最后一个树。

ABSTRACT

Let $A(G)$ be the adjacency matrix of graph $G$ with eigenvalues $λ_1(G), λ_2(G),..., λ_n(G)$ in non-increasing order. The number $S_k(G):=\sum_{i=1}^{n}λ_i^{k}(G)\, (k=0, 1,..., n-1)$ is called the $k$th spectral moment of $G$. Let $S(G) = (S_0(G), S_1(G),..., S_{n-1}(G))$ be the sequence of spectral moments of $G.$ For two graphs $G_1, G_2$, we have $G_1\prec_{s}G_2$ if for some $k \in \{1,2,3,...,n-1\}$, we have $S_i(G_1) = S_i(G_2)\, ,\, i = 0, 1,..., k-1$ and $S_k(G_1)

研究动机与目标

• 表征给定度序列的所有树中S序的最后一个树。
• 将表征结果扩展至具有固定最大度、独立数和匹配数的树。
• 确定在度约束下使谱矩在字典序S序中最大的唯一树T*。
• 提供一种通过度序列排序与广度优先分层构造极端树的构造性方法。

提出的方法

• 通过邻接矩阵特征值的谱矩S_k(G) = ∑λ_i^k(G)的字典序比较定义S序，其中λ_i为特征值。
• 使用谱矩恒等式：S_4(G) = 2ϕ(P₂) + 4ϕ(P₃) + 8ϕ(C₄)，S_5(G) = 30ϕ(C₃) + 10ϕ(U₄) + 10ϕ(C₅)，以及S_6、S_8用路径和特定子图计数表示。
• 通过广度优先搜索从度序列π构造一个规范树T*，确保早期层具有最大的度分布。
• 通过证明π ≺ π*，证明T*是度序列π下唯一使谱矩在S序中最大的树。
• 利用当ϕ_P₄(T₁) < ϕ_P₄(T₂)时，对k ≥ 6有S_k(T₁) < S_k(T₂)的事实，并通过子图计数比较谱矩。
• 通过度序列的优超关系π ≺ π*，确立T*在同度类中对所有其他树的支配性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定度序列的所有树中，S序的最后一个树是什么？
• RQ2 对于具有固定最大度的树，如何构造S序中的极端树？
• RQ3 同一棵树T*是否也作为具有固定独立数或匹配数的树在S序中的最后一个？
• RQ4 树的谱矩比较能否简化为子图计数？
• RQ5 在度序列约束下，是否存在唯一一棵使谱矩最大的树？

主要发现

• 通过从度序列π出发的广度优先搜索唯一构造的树T*，是该度序列下所有树中S序的最后一个树。
• 对于具有固定最大度Δ的树，S序的最后一个树是T*，其度序列π*通过分层排列顶点以最大化度的均匀性而定义。
• 在具有固定独立数α的树中，S序的最后一个树是T*，其度序列为(α, 2, ..., 2, 1, ..., 1)，其中包含α个度为1的顶点和n−α−1个度为2的顶点。
• 在具有固定匹配数β的树中，S序的最后一个树是T*，其度序列为(n−β, 2, ..., 2, 1, ..., 1)，其中包含n−β个度为1的顶点。
• 谱矩差S_6(T₁)−S_6(T₂) = 6(ϕ_P₄(T₁)−ϕ_P₄(T₂)) 和 S_8(T₁)−S_8(T₂) = 32(ϕ_P₄(T₁)−ϕ_P₄(T₂)) + 8(ϕ_P₅(T₁)−ϕ_P₅(T₂)) + 16(ϕ_B₅(T₁)−ϕ_B₅(T₂)) 是比较树的关键。
• T*的度序列π*优超同类别中所有其他度序列，确保T*在S序中为最大。