[论文解读] On the spectral radius and the energy of eccentricity matrix of a graph

Iswar Mahato, R. Gurusamy+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Graph theory and applications参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究图的偏心率矩阵 ε(G) 的谱性质，引入了 ε-谱半径和 ε-能量。通过 ε(G) 的可逆性刻画星图，建立了 ε-谱半径的界，并利用完全 k-部图构造了所有 n ≥ 5 的非共谱 ε-等谱能图，证明当每个部分至少有两个顶点时，ε-能量仅取决于部分数量，而与各部分大小无关。

ABSTRACT

The eccentricity matrix $\varepsilon(G)$ of a graph $G$ is obtained from the distance matrix by retaining the eccentricities (the largest distance) in each row and each column. In this paper, we give a characterization of the star graph, among the trees, in terms of invertibility of the associated eccentricity matrix. The largest eigenvalue of $\varepsilon(G)$ is called the $\varepsilon$-spectral radius, and the eccentricity energy (or the $\varepsilon$-energy) of $G$ is the sum of the absolute values of the eigenvalues of $\varepsilon(G)$. We establish some bounds for the $\varepsilon$-spectral radius and characterize the extreme graphs. Two graphs are said to be $\varepsilon$-equienergetic if they have the same $\varepsilon$-energy. For any $n \geq 5$, we construct a pair of $\varepsilon$-equienergetic graphs on $n$ vertices, which are not $\varepsilon$-cospectral.

研究动机与目标

• 通过其偏心率矩阵的可逆性，刻画树中的星图。
• 利用 ε-Wiener 指数和 ε-度序列，建立 ε-谱半径的紧致界。
• 研究非 ε-共谱但 ε-等谱能的图，解决谱图理论中的一个关键开放问题。
• 通过完全 k-部图，将 ε-等谱能图的构造推广至更高阶次。

提出的方法

• 通过保留每对顶点间距离等于 min{e(u), e(v)} 的条目，其余设为零，定义偏心率矩阵 ε(G)。
• 应用交错定理和均衡划分技术，对最大特征值（即 ε-谱半径）进行界定。
• 利用基于顶点划分的商矩阵，以 ε-Wiener 指数和 ε-度表示 ε-谱半径的下界。
• 利用已知的完全二部图和多部图的谱，显式计算 ε-能量。
• 通过比较具有相同 k 但部分大小不同的完全 k-部图，构造 ε-等谱能图对。
• 通过比较不同部分配置下不同的 ε-谱，证明其非共谱性，尽管 ε-能量相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些树的偏心率矩阵可逆？这一性质如何刻画星图？
• RQ2 以 ε-Wiener 指数和 ε-度序列等图不变量表示时，ε-谱半径的最紧致下界和上界是什么？
• RQ3 能否构造出非共谱但具有相同 ε-能量的图？这种现象在哪些图族中出现？
• RQ4 当每个部分至少有两个顶点时，完全 k-部图的 ε-能量是否仅取决于部分数量，而与各部分大小无关？

主要发现

• 星图 K₁,n−1 是唯一其偏心率矩阵可逆的树。
• ε-谱半径满足下界 ρ(ε(G)) ≥ maxᵢ { (Wₑ − ε(i)) + √[(Wₑ − ε(i))² + (n−1)ε²(i)] } / (n−1)，其中 Wₑ 为 ε-Wiener 指数。
• 对于完全二部图 Kₚ,ₙ₋ₚ（p, q ≥ 2），ε-能量为 Eₑ(Kₚ,ₙ₋ₚ) = 4(n−2)，与 p 无关。
• 对于完全 k-部图 Kₙ₁,ₙ₂,…,ₙₖ（每个 nᵢ ≥ 2），ε-能量为 Eₑ = 4(n−k)，仅取决于 n 和 k。
• 对于所有 n ≥ 6，存在非 ε-共谱的 ε-等谱能图，例如 Kₚ,ₙ₋ₚ 与 K_q,ₙ₋q（p ≠ q）。
• 当每个部分至少有两个顶点且 k 保持不变时，完全 k-部图的 ε-能量在部分大小变化下保持不变。