[论文解读] On the spectral radius, energy and Estrada index of the Sombor matrix of graphs

Zhen Lin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2021

Graph theory and applications被引用 11

一句话总结

本文引入并分析了图的Sombor矩阵，推导出其谱半径、能量和Estrada指数的紧致下界与上界。文中刻画了极值图（如完全二部图和星图），这些图使边界得以实现，并建立了与基于度的拓扑指数及谱图论的联系。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple undirected graph with vertex set $V(G)=\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ and edge set $E(G)$. The Sombor matrix $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is defined so that its $(i,j)$-entry is equal to $\sqrt{d_i^2+d_j^2}$ if the vertices $v_i$ and $v_j$ are adjacent, and zero otherwise, where $d_i$ denotes the degree of vertex $v_i$ in $G$. In this paper, lower and upper bounds on the spectral radius, energy and Estrada index of the Sombor matrix of graphs are obtained, and the respective extremal graphs are characterized.

研究动机与目标

• 定义并研究图的Sombor矩阵，这是一种基于顶点度和边连接关系的新矩阵。
• 为Sombor谱半径、能量和Estrada指数建立紧致的下界与上界。
• 刻画实现这些边界的极值图，尤其关注二部图和完全图的情形。
• 通过引入具有化学和拓扑相关性的基于Sombor的不变量，拓展谱图论。
• 探索Sombor矩阵与经典图不变量（如第一Zagreb指数和遗忘拓扑指数）之间的联系。

提出的方法

• 定义Sombor矩阵𝒢(G)，其(i,j)项为√(dᵢ² + dⱼ²)（当顶点i与j相邻时），否则为0。
• 应用矩阵谱论，包括特征值交错和majorization不等式，推导边界。
• 使用拉格朗日乘数法和凸性论证，优化在约束条件下的特征值和。
• 利用对称性和二部图结构，通过双曲余弦恒等式简化Estrada指数的表达式。
• 利用Sombor矩阵幂的迹，将Estrada指数与遗忘拓扑指数F(G)联系起来。
• 运用极值图论识别实现不等式等号的图（如K₁,ₙ₋₁, Kₛ,ₜ）。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的Sombor谱半径的最紧致下界与上界是什么？
• RQ2 哪些图使Sombor能量和Estrada指数达到最大或最小？
• RQ3 Sombor矩阵的特征值如何与经典拓扑指数（如F(G)和Z₁(G)）相关？
• RQ4 Estrada指数的边界在何种条件下取等？
• RQ5 哪些结构特性（如二部性、直径）刻画了实现极值的图？

主要发现

• 图G的Sombor谱半径满足√(Z₁/n) ≤ ρ₁(G) ≤ Δ，左侧等号成立当且仅当G为正则图或半正则图。
• 对于连通图，Sombor能量的下界为2√(n−1)，在星图K₁,ₙ₋₁处取得。
• 连通二部图的Sombor Estrada指数满足EE(G) ≤ n−2 + 2cosh(√F)，等号成立当且仅当G ≅ Kₛ,ₜ。
• 对于完全二部图，Estrada指数在K₁,ₙ₋₁处最小，在K₍ₙ/₂₎,₍ₙ/₂₎处最大，且有显式闭式表达式。
• 二部图的Estrada指数下界为n₀ + 2cosh(ρ₁(G)) + (r−2)cosh((ℰ(G)−2ρ₁(G))/(r−2))，其中r为Sombor矩阵的秩。
• Estrada指数边界取等当且仅当正特征值的模相等，表明存在强烈的谱对称性。