[论文解读] On the spectral sequence associated with the Baum-Connes Conjecture for $\mathbb Z^n$

Selçuk Barlak|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文研究了C*-代数上$\mathbb{Z}^n$-作用的 Baum-Connes 猜想相关的谱序列，重点关注谱序列第二页的微分。对于$\mathbb{Z}^2$-作用，给出了第二页微分的显式公式，该公式以 Bott 元素表示，并构造了具体例子——包括外作用与逐点内作用——其中这些微分非平凡，涵盖 Kirchberg 代数和离散 Heisenberg 群$H_3$的群C*-代数上的作用，完整计算了这些半直积的$K$-理论。

ABSTRACT

We examine a spectral sequence that is naturally associated with the Baum-Connes Conjecture with coefficients for $\mathbb Z^n$ and also constitutes an instance of Kasparov's construction in his work on equivariant $KK$-theory. For $k\leq n$, we give a partial description of the $k$-th page differential of this spectral sequence, which takes into account the natural $\mathbb Z^k$-subactions. In the special case that the action is trivial in $K$-theory, the associated second page differential is given by a formula involving the second page differentials of the canonical $\mathbb Z^2$-subactions. For $n=2$, we give a concrete realisation of the second page differential in terms of Bott elements. We prove the existence of $\mathbb Z^2$-actions, whose associated second page differentials are non-trivial. One class of examples is given by certain outer $\mathbb Z^2$-actions on Kirchberg algebras, which act trivially on $KK$-theory. This relies on a classification result by Izumi and Matui. A second class of examples consists of certain pointwise inner $\mathbb Z^2$-actions. One instance is given as a natural action on the group $\mathrm{C}^*$-algebra of the discrete Heisenberg group $H_3$. We also compute the $K$-theory of the corresponding crossed product. Moreover, a general and concrete construction yields various examples of pointwise inner $\mathbb Z^2$-actions on amalgamated free product $\mathrm{C}^*$-algebras with non-trivial second page differentials. Among these, there are actions which are universal, in a suitable sense, for pointwise inner $\mathbb Z^2$-actions with non-trivial second page differentials. We also compute the $K$-theory of the crossed products associated with these universal $\mathrm{C}^*$-dynamical systems.

研究动机与目标

• 理解系数 Baum-Connes 猜想中$\mathbb{Z}^n$-作用产生的谱序列结构。
• 以$\mathbb{Z}^k$-子作用的形式描述第$k$页微分，特别关注$k=2$的情形。
• 构造具有非平凡第二页微分的$\mathbb{Z}^2$-作用的具体例子，包括外作用与逐点内作用。
• 计算这些例子中相关半直积的$K$-理论，特别是对通用逐点内作用。
• 建立$\mathbb{Z}^2$情形下第二页微分与 Bott 元素之间的联系，提供明确实现。

提出的方法

• 利用 Kasparov 的等变$KK$-理论框架，通过映射环面$\mathcal{M}_\alpha(A)$的有限余过滤构造谱序列。
• 应用 Massey 的正合偶技术，推导出收敛于半直积$A \rtimes_r \mathbb{Z}^n$的$K$-理论的谱序列。
• 利用 Pimsner-Voiculescu 序列分析边界映射下的提升，这对微分计算至关重要。
• 在作用为$KK$-平凡时，推导出第二页微分$d_2^{p,q}$关于典型$\mathbb{Z}^2$-子作用第二页微分的公式。
• 通过在离散 Heisenberg 群$H_3$的群C*-代数上的自然作用以及在并自由积C*-代数上的作用构造例子。
• 利用 Izumi 和 Matui 的分类结果，验证在 Kirchberg 代数上存在外$\mathbb{Z}^2$-作用，其$KK$-作用平凡但微分非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathbb{Z}^n$-作用的 Baum-Connes 谱序列中，第$k$页微分的结构是什么，特别是以$\mathbb{Z}^k$-子作用的形式？
• RQ2 对于$\mathbb{Z}^2$-作用，第二页微分$d_2$如何以 Bott 元素形式显式实现？
• RQ3 是否存在$KK$-作用平凡但第二页微分非平凡的$\mathbb{Z}^2$-作用于C*-代数？
• RQ4 对于在并自由积C*-代数上通用逐点内$\mathbb{Z}^2$-作用的半直积，其$K$-理论是什么？
• RQ5 非平凡第二页微分是否可在外作用与逐点内$\mathbb{Z}^2$-作用中实现，它们与 Bott 陈化的关系如何？

主要发现

• 对于$KK$-理论中平凡的$\mathbb{Z}^2$-作用，第二页微分$d_2$由典型$\mathbb{Z}^2$-子作用的第二页微分公式给出。
• 在$\mathbb{Z}^2$-作用情形下，通过 Bott 元素提供了第二页微分的显式实现。
• 某些外$\mathbb{Z}^2$-作用于 Kirchberg 代数，其$KK$-理论作用平凡但第二页微分非平凡，这一结果由 Izumi 和 Matui 的分类结果保证。
• 在离散 Heisenberg 群$H_3$的群C*-代数上自然存在的$\mathbb{Z}^2$-作用，其第二页微分非平凡。
• 通过一般构造方法，得到了在并自由积C*-代数上具有非平凡第二页微分的逐点内$\mathbb{Z}^2$-作用，其中一些在适当意义上是通用的。
• 明确计算了与这些通用逐点内$\mathbb{Z}^2$-作用相关的半直积的$K$-理论。