[论文解读] On the Spectrum of Hecke Type Operators related to some Fractal Groups

Laurent Bartholdi, Rostislav Grigorchuk|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 1999

Mathematical Analysis and Transform MethodsMathematics参考文献 16被引用 19

一句话总结

本论文通过分形群的Schreier图，构造了首个已知的连通4-正则图，其Laplace算子的谱为Cantor集。该谱源于二次映射的Julia集的变换，通过利用自相似性及算子的特殊分解方法实现有限逼近的谱计算。

ABSTRACT

We give the first example of a connected 4-regular graph whose Laplace operator's spectrum is a Cantor set, as well as several other computations of spectra following a common ``finite approximation'' method. These spectra are simple transforms of the Julia sets associated to some quadratic maps. The graphs involved are Schreier graphs of fractal groups of intermediate growth, and are also ``substitutional graphs''. We also formulate our results in terms of Hecke type operators related to some irreducible quasi-regular representations of fractal groups and in terms of the Markovian operator associated to noncommutative dynamical systems via which these fractal groups were originally defined. In the computations we performed, the self-similarity of the groups is reflected in the self-similarity of some operators; they are approximated by finite counterparts whose spectrum is computed by an ad hoc factorization process.

研究动机与目标

• 计算分形群的准正则表示相关联的Hecke型算子的谱。
• 研究具有中间增长性的群的Schreier图上Laplace算子的谱性质。
• 建立这些算子谱与二次映射Julia集之间的联系。
• 通过有限逼近技术，探讨自相似性在谱论中的作用。
• 解决关于非阿美尼阿群、无扭群中谱隙与表示的开放问题。

提出的方法

• 以分形群（如Grigorchuk群及其变体）的Schreier图为谱分析的底层图。
• 应用有限逼近方法，计算有限商的谱并取极限。
• 通过特殊分解过程计算Hecke型算子有限对应物的谱。
• 依赖群的自相似性，使其在逼近算子的自相似性中体现。
• 通过函数变换将谱与二次多项式的Julia集联系起来。
• 利用非交换动力系统关联的Markov算子定义谱问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，准正则表示ρ_G/P的谱位于全表示ρ_G的谱之内？
• RQ2 何时等式成立：spec(ρ_G/P) = spec(ρ_G)？
• RQ3 能否通过谱方法构造一个有限生成、非剩余有限且不含自由子群的群？
• RQ4 是否存在群G < Aut(T)，使得Schreier图S(G, P_n, S)构成一族膨胀图或Ramanujan图？
• RQ5 是否存在无扭群G < Aut(T)，使得其Laplace算子的谱完全不连通或含有谱隙？

主要发现

• 本文首次给出了连通4-正则图的Laplace算子谱为Cantor集的实例。
• 证明了群̃G的Hecke型算子谱为Cantor集，其源于二次映射的变换Julia集。
• 有限逼近方法通过利用自相似结构对有限算子的预解式进行分解，成功计算出谱。
• 对于群̃G，其Cayley图的二分结构使得Laplace算子Δ的谱被完全恢复。
• 群Γ的Schreier图上Markov算子的谱被证明为Cantor集与可数集的并集，其结果与[Mal95]类似，但假设条件不同。
• 作者通过酉表示与Radon-Nikodým导数，建立了非交换动力系统与Hecke型算子谱之间的谱联系。