[论文解读] On the splitting of Neumann eigenvalues in perforated domains

Veronica Felli, Lorenzo Liverani+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

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一句话总结

该论文表明，在穿孔区域中，当移除一个小的内部孔时，Neumann特征值在一般情况下会从多个特征值处分裂，具有一个详尽的渐近展开来控制分裂及其对孔位置的依赖性。

ABSTRACT

We address the problem of splitting of eigenvalues of the Neumann Laplacian under singular domain perturbations. We consider a domain perturbed by the excision of a small spherical hole shrinking to an interior point. Our main result establishes that the splitting of multiple eigenvalues is a generic property: if the center of the hole is located outside a set of Hausdorff dimension $N-1$ and the radius is sufficiently small, multiple eigenvalues split into branches of lower multiplicity. The proof relies on the validity of an asymptotic expansion for the perturbed eigenvalues in terms of the scaling parameter. Such an asymptotic formula is of independent interest and generalizes previous results; notably, in dimension $N\geq 3$, it is valid for holes of arbitrary shape.

研究动机与目标

• 激发研究在奇异域域扰动下Neumann拉普拉斯算子的谱稳定性。
• 确定在内部孔截除的情况下，多个Neumann特征值是否会分裂成低重数的分支。
• 表征分裂如何依赖于孔心和孔的大小，包括一般性结果。
• 提供一个 perturbed eigenvalues 的渐近框架，将之前的Dirichlet结果推广到Neumann问题。

提出的方法

• 在具有收缩内部孔的区域上表述Neumann特征问题，将扰动扩展到域族 ff_{e9}^{x0,
  Sigma} 的域。
• 给出关于扰动特征值的渐近展开，以缩放参数 ps 为变量，包括适用于 N e2 3 以及任意孔形状的一般形式。
• 引入并分析穿孔域的边界扭转刚度框架 _{b9}，以捕捉一阶主导变化。
• 应用 Colvin de Verdière 小特征值引理，将扰动特征值与特征空间 E(lambda_n( )) 上的简化 m 维问题联系起来。
• 导出明确的极限双线性形式 _{x0,1}，并在二维中给出对应的 _{1}，以描述一阶分裂项。
• 建立对于球形孔而言，特征支在一般情形下具有降低的重数，并且几乎在每个孔心处发生分裂。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界Lipschitz区域中，Laplace 的多个Neumann特征值是否在因移除收缩内部孔而产生的奇异扰动下分裂成简单分支？
• RQ2 孔心 x0 如何影响分裂，是否能刻画发生分裂项重叠的孔心集合？
• RQ3 当孔收缩时，扰动特征值的精确渐近行为是什么，以及它如何依赖于维数 N 与孔形状？
• RQ4 结果是否可推广到高维任意孔形状，且与已知Dirichlet情形结果有何联系？

主要发现

• 获得扰动后Neumann特征值的渐近展开，表明多个特征值将以与维数和扰动尺度相关的阶次发生分裂。
• 对于 N e2 3，主导分裂由原始本征空间上的双线性形式捕获，且极限值明确地与边界扭转刚度框架一致。
• 在球形孔 B1 的情形下，来自多重特征值的扰动特征值具有降低的重数，即发生分裂。
• 一个一般性结果：对于位于 Hausdorff-维数为 N-1 的集合之外的孔心，并且孔足够小，所有特征分支分裂为低重数分支。
• 在二维中，使用平方缩放 ps^2 的类似展开，对小孔表现出等效的分裂行为。