[论文解读] On the Splitting of the Dual Goldie Torsion Theory

Christian Lomp|ArXiv.org|Sep 10, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文研究非交换环理论中的双重Goldie挠理论，引入了Goldie挠理论的对偶版本，并分析其分裂性质。通过构造反例，本文否定了Ozcan与Harmanci提出的问题，表明双重Goldie挠理论的分裂并不意味着环是拟Frobenius环，从而解决了挠理论中的一个开放问题。

ABSTRACT

The splitting of the Goldie (or singular) torsion theory has been extensively studied. Here we determine an appropriate dual Goldie torsion theory, discuss its splitting and answer in the negative a question proposed by Ozcan and Harmanci as to whether the splitting of the dual Goldie torsion theory implies the ring to be quasi-Frobenius.

研究动机与目标

• 定义并分析非交换环中Goldie挠理论的对偶版本。
• 研究双重Goldie挠理论分裂的条件。
• 以否定方式回答Ozcan与Harmanci提出的问题，即双重Goldie挠理论的分裂与环的拟Frobenius性质之间的关系。
• 提供一个反例，表明双重Goldie挠理论的分裂并不意味着环是拟Frobenius环。

提出的方法

• 本文通过本质扩张和奇异子模的概念定义了双重Goldie挠理论。
• 采用模论技术，特别关注挠模与无挠模。
• 分析涉及通过其模范畴和子模在对偶下的行为来研究环的结构。
• 作者运用了挠理论中的已知结果以及Goldie关于半素环和阿廷条件的定理。
• 构造了一个反例，以证明双重Goldie挠理论的分裂并不强制环为拟Frobenius环。
• 证明依赖于内射包络的性质以及非诺特情形下奇异模的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 双重Goldie挠理论的分裂是否意味着环是拟Frobenius环？
• RQ2 在何种结构条件下，双重Goldie挠理论会分裂？
• RQ3 双重Goldie挠理论与经典Goldie挠理论有何关系？
• RQ4 是否存在一个环，其双重Goldie挠理论分裂，但该环并非拟Frobenius环？
• RQ5 内射模与本质扩张在双重挠理论中起什么作用？

主要发现

• 双重Goldie挠理论是良好定义的，可通过本质扩张的对偶概念来构造。
• 双重Goldie挠理论的分裂并不意味着环是拟Frobenius环。
• 构造了一个反例，表明存在双重Goldie挠理论分裂但不是拟Frobenius环的环。
• 本文确认，双重Goldie挠理论在分裂条件方面与经典Goldie挠理论表现不同。
• 结果表明，双重挠理论不足以表征拟Frobenius环，这与Ozcan与Harmanci的猜想相反。