[论文解读] On the spreading of quantum walks starting from local and delocalized states

Alexandre C. Orthey, Edgard P. M. Amorim|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文通过使用对称量子比特，从局域、高斯和均匀初始位置态出发，对一维离散时间量子行走的长时间方差进行了解析推导，得到了闭式表达式。结果表明，对于局域初始态，平均方差与量子比特无关；但对于高斯和均匀初始态，方差强烈依赖于量子比特的相位参数（尤其是 θ+φ）和初始展宽，傅里叶量子行走（θ+φ=π）和大初始展宽下表现出非弥散行为。

ABSTRACT

We investigate the ballistic spreading behavior of the one-dimensional discrete time quantum walks whose time evolution is driven by any balanced quantum coin. We obtain closed-form expressions for the long-time variance of position of quantum walks starting from any initial qubit (spin-$1/2$ particle) and position states following a delta-like (local), Gaussian and uniform probability distributions. By averaging over all spin states, we find out that the average variance of a quantum walk starting from a local state is independent of the quantum coin, while from Gaussian and uniform states it depends on the sum of relative phases between spin states given by the quantum coin, being non-dispersive for a Fourier walk and large initial dispersion. We also perform numerical simulations of the average probability distribution and variance along the time to compare them with our analytical results.

研究动机与目标

• 理解初始态局域化程度如何影响量子行走展展现象的动力学行为。
• 从不同初始态（局域、高斯、均匀）推导长时间位置方差的闭式表达式。
• 分析展展现象对量子比特参数（θ, φ）和初始态展宽的依赖关系。
• 将解析结果与概率分布和方差演化过程的数值模拟进行对比。
• 识别量子行走表现出非弥散行为的条件，特别是傅里叶行走的情形。

提出的方法

• 基于 Brun 型量子行走动力学形式化，采用由量子比特和条件位移组成的酉时间演化算符。
• 对具有狄拉克δ、高斯和均匀概率分布的初始态，在动量表象中进行长时间位置方差的解析推导。
• 使用 Bloch 球表示法，通过角度 α 和 β 参数化任意初始量子比特态。
• 对初始自旋态进行平均，以提取与特定量子比特制备无关的一般性特征。
• 通过 1000 个时间步长的数值模拟验证解析方差表达式。
• 对模拟得到的方差数据进行 Ct² 拟合，以提取并比较不同初始态和量子比特参数下的弥散系数 C。

实验结果

研究问题

• RQ1 初始位置态的局域化程度（局域 vs. 高斯 vs. 均匀）如何影响量子行走的长时间方差？
• RQ2 对于不同初始态，方差表达式 ⟨σ²⟩ = Ct² 中的展展现系数 C 如何依赖于量子比特相位参数 θ 和 φ？
• RQ3 为何对于初始展宽较大（σ₀ ≫ 1）的高斯初始态，傅里叶量子比特（θ+φ=π）的方差趋近于零？
• RQ4 量子行走从局域初始态出发的平均方差是否如模拟所观察的那样与量子比特无关？
• RQ5 能否为任意初始量子比特态和所有三种初始位置分布类型推导出方差的解析表达式？

主要发现

• 从局域初始态出发的量子行走的平均方差与量子比特无关，在所有对称量子比特下保持恒定。
• 对于高斯初始态，长时间展展现系数 C 依赖于相对相位之和（θ+φ）和初始展宽 σ₀，当 σ₀ ≫ 1 且 θ+φ = π 时，C ≈ 0。
• 傅里叶行走（θ+φ = π）在大初始展宽下表现出非弥散行为，该结论由解析表达式和数值模拟共同证实。
• 对平均概率分布和方差的数值模拟与所有初始态类型的解析预测高度一致。
• 当 σ₀ = 10 时，高斯态的系数 C 在 θ+φ = π 时非常接近零，表明展展现象极小，与解析模型一致。
• 对于均匀初始态，展展现系数 C 同样依赖于 θ+φ，仅在某些量子比特参数下非零，其依赖关系与高斯态有明显差异。