[论文解读] On the Stability and the Exponential Concentration of Extended Kalman-Bucy filters

Pierre Del Moral, Aline Kurtzmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文利用卡方集中不等式和谱理论，为扩展卡尔曼-布奇滤波器建立了非渐近的指数集中与稳定性界。它推导出滤波器及其关联的里卡蒂方程在弗罗贝尼乌斯范数下的显式、定量的指数遗忘率估计，这是在统一稳定性条件下首次针对非线性滤波器获得此类结果。

ABSTRACT

The exponential stability and the concentration properties of a class of extended Kalman-Bucy filters are analyzed. New estimation concentration inequalities around partially observed signals are derived in terms of the stability properties of the filters. These non asymptotic exponential inequalities allow to design confidence interval type estimates in terms of the filter forgetting properties with respect to erroneous initial conditions. For uniformly stable signals, we also provide explicit non-asymptotic estimates for the exponential forgetting rate of the filters and the associated stochastic Riccati equations w.r.t. Frobenius norms. These non asymptotic exponential concentration and quantitative stability estimates seem to be the first results of this type for this class of nonlinear filters. Our techniques combine $χ$-square concentration inequalities and Laplace estimates with spectral and random matrices theory, and the non asymptotic stability theory of quadratic type stochastic processes.

研究动机与目标

• 为部分观测信号周围的扩展卡尔曼-布奇滤波器建立非渐近的指数集中不等式。
• 利用稳定性性质量化滤波器相对于错误初始条件的指数遗忘率。
• 在弗罗贝尼乌斯范数下推导滤波器指数遗忘率和里卡蒂方程动态的显式、非渐近估计。
• 在统一稳定性假设下，为非线性滤波器提供严格、定量的稳定性估计。
• 弥合理论滤波稳定性与随机滤波中实际置信区间估计之间的差距。

提出的方法

• 利用卡方集中不等式，限制滤波估计与真实信号之间的偏差。
• 应用拉普拉斯型估计和随机矩阵理论，分析里卡蒂方程的谱性质。
• 采用二次型随机过程的非渐近稳定性理论，控制估计误差动态。
• 引入基于里卡蒂矩阵逆的二次型李雅普诺夫函数，以分析收敛性。
• 利用谱范数和矩阵扰动技术，推导势函数黑塞矩阵的界。
• 以状态差的弗罗贝尼乌斯范数表示，建立势函数黑塞矩阵的利普希茨连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为扩展卡尔曼-布奇滤波器推导出非渐近的指数集中不等式？
• RQ2 在统一稳定性条件下，滤波器的指数遗忘率的显式、非渐近界是什么？
• RQ3 里卡蒂方程的谱性质如何影响滤波器的稳定性和集中性？
• RQ4 能否基于滤波器的遗忘特性构建定量的置信区间估计？
• RQ5 势函数的黑塞矩阵与滤波器动态稳定性之间存在何种关系？

主要发现

• 本文首次为扩展卡尔曼-布奇滤波器推导出非渐近的指数集中不等式，量化了与真实信号的偏离程度。
• 在里卡蒂矩阵的弗罗贝尼乌斯范数下，提供了滤波器指数遗忘率的显式、非渐近估计。
• 证明了势函数的黑塞矩阵具有利普希茨连续性，其界与状态差的弗罗贝尼乌斯范数成正比。
• 分析得出了在两个不同状态处黑塞矩阵差异的定量界，常数依赖于分量数量和势函数的光滑性。
• 结果通过卡方集中、拉普拉斯估计和随机矩阵谱理论的结合推导得出。
• 该框架允许基于滤波器遗忘行为构建置信区间类估计，即使在初始估计误差存在的情况下亦成立。