[论文解读] On the stability bounds in a problem of convection with uniform internal heat source

Ioana Dragomirescu, Adelina Georgescu|ArXiv.org|Dec 2, 2008

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过使用两种伽辽金方法——傅里叶级数和移位勒让德多项式——研究了具有均匀内部热源的流体层中的线性稳定性，以求解控制对流起始的特征值问题。结果表明，试函数的选择显著影响代数系统的结构和数值收敛性，所得结果与先前研究高度一致，证实了内部加热对临界瑞利数的失稳作用。

ABSTRACT

Two Galerkin methods are applied to a problem of convection with uniform internal heat source are given. With each method analytical results are obtained and discussed. They concern the parameter representing the heating rate. Numerical results are also given and they agree well with the existing ones.

研究动机与目标

• 扩展先前关于具有均匀内部热源的流体层中线性稳定性的分析研究。
• 评估不同谱试函数（傅里叶级数与移位勒让德多项式）对伽辽金近似收敛性与精度的影响。
• 推导并求解在不同加热速率（参数N）下临界瑞利数对应的代数特征值系统。
• 将数值结果与现有文献进行比较，验证不同波数和加热参数下的稳定性边界。

提出的方法

• 在具有刚性、等温边界的水平流体层中，应用基于速度和温度扰动的傅里叶级数展开的伽辽金方法。
• 推导出特征函数垂直依赖性的常微分方程组，进而形成广义特征值问题。
• 利用正交函数——余弦与正弦级数（傅里叶）以及移位勒让德多项式（SLP）——将控制方程投影为有限维代数系统。
• 通过数值求解所得的主方程，计算不同加热参数N和波数a下的临界瑞利数。
• 通过所选基函数施加边界条件（无滑移和零温度扰动）于速度与温度场。
• 通过将计算得到的瑞利数与先前研究结果对比，验证了结果的可靠性，显示出高度一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱基函数的选择（傅里叶 vs. 移位勒让德多项式）如何影响内部热源对流稳定性分析中伽辽金近似的收敛性与精度？
• RQ2 加热速率参数N对对流起始临界瑞利数的影响是什么？
• RQ3 临界瑞利数的数值结果在多大程度上与先前发表的数据一致？
• RQ4 在静止情况下，该内部热源对流问题是否满足稳定性交换原理？
• RQ5 波数a的变化在不同加热条件下如何影响稳定性边界与临界瑞利数？

主要发现

• 临界瑞利数随加热速率参数N的增加而减小，表明内部热源具有失稳作用。
• 当N = 0（无内部加热）时，计算得到的临界瑞利数约为1708.54，与经典值1708.54高度一致。
• 当N = 10且a = 9.0时，临界瑞利数降至1366.02，表明稳定性阈值得到显著降低。
• 移位勒让德多项式方法的结果与基于傅里叶的方法一致，验证了数值方法的可靠性。
• 针对不同N和a值的数值结果与先前研究高度一致，证实了伽辽金方法的可靠性。
• 代数系统的结构与收敛行为在很大程度上取决于试函数的选择，凸显了谱方法中基函数选取的重要性。