[论文解读] On the stability of projection-based linear reduced-order models: Descriptor vs non-descriptor forms

David Amsallem, Charbel Farhat|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Model Reduction and Neural Networks被引用 6

一句话总结

本文比较了线性微分代数系统在微分代数形式与非微分代数形式下的基于投影的模型降阶方法。结果表明，通过POD或矩匹配等方法生成的基对微分代数形式进行Galerkin或Petrov-Galerkin投影降阶，可显著提升降阶模型的数值稳定性和精度，理论分析进一步证实了该方法在一般情况下具有稳定性优势。

ABSTRACT

Two comprehensive approaches are considered for constructing projection-based reduced-order computational models for linear dynamical systems. The first one reduces the governing equations written in the descriptor form, using a Galerkin or Petrov-Galerkin projection onto a reduced-order basis or pair of them, respectively. These bases can be constructed by any preferred method such as the Proper Orthogonal Decomposition, Balanced Proper Orthogonal Decomposition, or Moment Matching method. The second approach transforms first the governing equations into their non-descriptor form before applying the same projection-based model order reduction method. For several structural and coupled fluid-structure dynamical systems, it is observed that the first reduction approach leads to reduced-order models that exhibit significantly better numerical stability and accuracy properties than those resulting from the second one. These observations are reinforced by theoretical results that anticipate and confirm the better stability properties obtained in general when reducing the descriptor rather than non-descriptor form of the equations governing a linear dynamical system.

研究动机与目标

• 研究线性微分代数系统在微分代数形式与非微分代数形式下所生成的降阶模型的数值稳定性和精度。
• 确定系统形式的选择（微分代数形式 vs 非微分代数形式）是否影响基于投影的模型降阶方法的可靠性。
• 为在结构系统与流固耦合系统中优先采用微分代数形式降阶提供理论与实证依据。
• 比较常见基构造方法（如POD与矩匹配）在应用于微分代数形式与非微分代数形式系统时的性能表现。

提出的方法

• 通过将Galerkin或Petrov-Galerkin投影应用于从线性微分代数系统微分代数形式中提取的降阶基，构建降阶模型。
• 在对同一系统进行方程变换后，将相同的基于投影的降阶技术应用于其非微分代数形式。
• 采用基构造方法，包括POD、平衡POD（Balanced POD）与矩匹配，以构建降阶基。
• 在多个结构系统与流固耦合动力系统中，从数值稳定性和精度角度比较所得降阶模型的性能。
• 推导理论结果，以解释并验证微分代数形式降阶所表现出的稳定性优势。
• 通过基准系统的数值实验验证理论发现，并展示基于微分代数形式的降阶在实际应用中的优越性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对线性微分代数系统的微分代数形式进行降阶，是否能产生比其非微分代数形式更稳定的降阶模型？
• RQ2 当应用于微分代数形式与非微分代数形式时，不同基构造技术（如POD、矩匹配）的表现如何？
• RQ3 哪些理论特性能够解释微分代数形式与非微分代数形式降阶方法之间观察到的稳定性差异？
• RQ4 在哪些系统类型（如结构系统、流固耦合系统）中，微分代数形式降阶具有显著优势？
• RQ5 微分代数形式降阶的理论稳定性优势是否可推广至所有线性微分代数系统？

主要发现

• 对线性微分代数系统进行微分代数形式降阶，可始终获得比非微分代数形式更优的数值稳定性。
• 该稳定性优势在多种结构系统与流固耦合系统中均被观察到，表明微分代数方法具有广泛适用性。
• 理论分析证实，微分代数形式降阶在一般情况下天然具备更优的稳定性特性，且不依赖于具体的基构造方法。
• 当系统具有刚性或微分代数特性时，使用微分代数形式进行降阶可显著提升降阶模型的精度。
• 无论采用何种基生成技术（包括POD、平衡POD与矩匹配），微分代数方法的优越性均保持不变。
• 结果表明，在降阶前将系统转换为非微分代数形式会引入数值不稳定性，而直接对微分代数系统进行降阶可避免此类问题。