[论文解读] On the stability of robust dynamical low-rank approximations for hyperbolic problems

Jonas Kusch, Lukas Einkemmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 35被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新型投影分裂积分器，该方法在空间和时间离散化之前应用动态低秩近似（DLRA），恢复了经典的CFL条件，并提高了双曲问题的稳定性。该方法在首阶矩方面表现出更优的稳定性，并为动力传输中的散射项设计了一种高效且稳定的更新方法，经由数值实验验证。

ABSTRACT

The dynamical low-rank approximation (DLRA) is used to treat high-dimensional problems that arise in such diverse fields as kinetic transport and uncertainty quantification. Even though it is well known that certain spatial and temporal discretizations when combined with the DLRA approach can result in numerical instability, this phenomenon is poorly understood. In this paper we perform a L2 stability analysis for the corresponding nonlinear equations of motion. This reveals the source of the instability for the projector splitting integrator when first discretizing the equations and then applying the DLRA. Based on this we propose a projector splitting integrator, based on applying DLRA to the continuous system before performing the discretization, that recovers the classic CFL condition. We also show that the unconventional integrator has more favorable stability properties and explain why the projector splitting integrator performs better when approximating higher moments, while the unconventional integrator is generally superior for first order moments. Furthermore, an efficient and stable dynamical low-rank update for the scattering term in kinetic transport is proposed. Numerical experiments for kinetic transport and uncertainty quantification, which confirm the results of the stability analysis, are presented.

研究动机与目标

• 理解在双曲问题的空间和时间离散化之后应用DLRA时导致数值不稳定的根源。
• 开发一种稳定化的投影分裂积分器，通过在离散化之前应用DLRA，以保持经典的CFL条件。
• 比较新积分器与传统投影分裂方法在首阶与高阶矩方面的稳定性与精度。
• 为动力传输方程中的散射项设计一种高效且稳定的动态低秩更新方法。
• 通过动力传输和不确定性量化中的数值实验验证理论稳定性结果。

提出的方法

• 对在离散化后应用DLRA所引出的非线性运动方程进行L2稳定性分析，识别不稳定的根源。
• 提出一种新的投影分裂积分器，将DLRA应用于离散化之前连续系统。
• 推导一种改进的积分器，通过早期低秩投影确保稳定性，从而恢复经典的CFL条件。
• 分析并比较传统与非传统积分器在首阶与高阶矩方面的稳定性特性。
• 为动力传输中的散射项设计一种专门的动态低秩更新方案，以保持稳定性和效率。
• 在动力传输和不确定性量化问题中实现并测试所提出的积分器。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在空间和时间离散化之后应用DLRA时，投影分裂积分器中数值不稳定的成因是什么？
• RQ2 能否设计一种基于DLRA的积分器，通过在离散化之前应用低秩近似，以恢复经典的CFL条件？
• RQ3 新积分器与传统投影分裂方法在首阶与高阶矩方面的稳定性与精度相比如何？
• RQ4 能否为动力传输方程中的散射项构建一种高效且稳定的动态低秩更新？
• RQ5 数值实验是否证实了所提出积分器的理论稳定性预测？

主要发现

• 传统投影分裂积分器的不稳定性源于在离散化之后应用DLRA，这破坏了维持稳定所必需的底层结构。
• 所提出的积分器通过在离散化之前应用DLRA，成功恢复了经典的CFL条件，确保了稳定性。
• 非传统积分器整体上表现出更优的稳定性特性，尤其在首阶矩方面。
• 由于其在非线性运动方程中特定的结构，传统投影分裂积分器在近似高阶矩方面表现更优。
• 成功推导并数值验证了一种高效且稳定的动力传输中散射项的动态低秩更新方法。
• 在动力传输和不确定性量化中的数值实验验证了理论稳定性分析，并展示了所提出积分器的优越性。