[论文解读] On the stability of Scott-Zhang type operators and application to multilevel preconditioning in fractional diffusion

Markus Faustmann, Jens Markus Melenk+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 54被引用 15

一句话总结

本文在Besov空间中建立了Scott-Zhang型算子的端点稳定性，使基于最新顶点二等分生成的自适应加密网格能够实现多水平分解。提出了一种针对分数阶Laplacian的局部多水平对角预条件子，实现了条件数的统一有界性，确保了在局部加密网格上迭代求解器的最优收敛性，且具有最优的特征值界。

ABSTRACT

We provide an endpoint stability result for Scott-Zhang type operators in Besov spaces. For globally continuous piecewise polynomials these are bounded from $H^{3/2}$ into $B^{3/2}_{2,\infty}$; for elementwise polynomials these are bounded from $H^{1/2}$ into $B^{1/2}_{2,\infty}$. As an application, we obtain a multilevel decomposition based on Scott-Zhang operators on a hierarchy of meshes generated by newest vertex bisection with equivalent norms up to (but excluding) the endpoint case. A local multilevel diagonal preconditioner for the fractional Laplacian on locally refined meshes with optimal eigenvalue bounds is presented.

研究动机与目标

• 在B3/22,∞和B1/22,∞空间中，为全局连续和不连续的分片多项式建立Scott-Zhang型算子的端点稳定性。
• 基于通过最新顶点二等分生成的网格层次结构，构建基于改进的Scott-Zhang算子的多水平分解。
• 为自适应加密网格上的积分分数阶Laplacian设计一种局部多水平对角预条件子，实现最优特征值界。
• 确保预条件系统的条件数在所有网格加密层次下统一有界，即使在强局部加密下也成立。

提出的方法

• 利用插值理论和K-泛函估计，证明拟插值算子在端点Besov范数下的稳定性。
• 构造一种改进的Scott-Zhang算子，确保在两个网格的最细共同粗化网格上保持一致性。
• 通过在分数阶Sobolev范数下建立新的逆估计，建立自适应加密、形状正则网格上多水平分解的范数等价性。
• 利用加权逆估计和尺度分析，推导强化的柯西-施瓦茨不等式，以控制非对角项。
• 在加性Schwarz框架下采用对角缩放，利用多水平分解控制预条件刚度矩阵的极端特征值。
• 通过将对角元素限制在层次化子域的节点支撑上，实现一种局部多水平对角预条件子，确保最优条件数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Scott-Zhang算子在全局连续分片多项式情形下，是否在端点Besov空间B3/22,∞中稳定？
• RQ2 能否在使用Scott-Zhang型算子的自适应加密网格上，构造出具有等价范数的多水平分解？
• RQ3 对于局部加密网格上的分数阶Laplacian，局部多水平对角预条件子是否能实现统一有界的条件数？
• RQ4 随着网格的加密，特别是强局部加密时，预条件系统的特征值如何变化？
• RQ5 能否在不依赖最细网格的情况下构造预条件子，同时保持最优条件数？

主要发现

• Scott-Zhang算子有界地映射H3/2到B3/22,∞，并映射H1/2到B1/22,∞，从而在Besov范数下确立了端点稳定性。
• 在通过最新顶点二等分生成的网格上，构造了具有等价范数的多水平分解，其有效性涵盖端点情形。
• 所提出的局部多水平对角预条件子确保了预条件系统条件数的统一有界性，与网格尺寸和加密比无关。
• 对于s ∈ (0, 1)，在S1,10(T)中的分片线性离散化下，预条件子实现了最优特征值界；对于s ∈ (0, 1/2)，在S0,0(T)中也实现了最优特征值界。
• 数值实验表明，预条件系统条件数的增长速率至多为对数级，而未预条件系统则呈现O(N2s/dℓ)的增长速率。
• 该预条件子在结构上与边界元方法中使用的预条件子相似，且数值结果证实其可高效实现。