[论文解读] On the stochastic nonlinear Schrödinger equations with non-smooth additive noise

Tadahiro Oh, Oana Pocovnicu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文通过利用色散估计和一种新型的 Strichartz 型空间中的压缩映射论证，建立了带非光滑加法噪声的随机非线性薛定谔方程的局部适定性。它证明了在比以往已知更粗糙的函数空间中解的存在性与唯一性，通过初始数据的随机化和概率 Strichartz 估计，将适定性扩展到更低正则性的随机卷积情形。

ABSTRACT

We study the stochastic nonlinear Schrödinger equations with additive stochastic forcing. By using the dispersive estimate, we present a simple argument, constructing a unique local-in-time solution with rougher stochastic forcing than those considered in the literature.

研究动机与目标

• 将随机非线性薛定谔方程（SNLS）的适定性理论扩展到比以往考虑的更粗糙的加法噪声情形。
• 通过色散估计和简化论证，构造带非光滑噪声的 SNLS 的唯一局部时间解。
• 通过采用初始数据的维纳随机化和概率 Strichartz 估计，降低对噪声算子 $\phi$ 的正则性要求。
• 即使随机卷积 $\Psi$ 的正则性较低，也在 $H^s$ 基空间中建立适定性，特别是在能量次临界和能量超临界情形下。

提出的方法

• 利用色散估计 $\|S(t)\phi\|_{L^q_t L^r_x} \lesssim \|\phi\|_{L^2_x}$ 控制 Strichartz 范数下的线性传播算子。
• 应用初始数据 $u_0^\omega$ 的维纳随机化以提高可积性，并在更粗糙的函数空间中实现压缩映射。
• 采用弱形式（杜哈梅尔原理）通过随机卷积 $\Psi = -i\int_0^t S(t-t')\phi \xi(dt')$ 定义解。
• 利用概率 Strichartz 估计证明 $S(t)u_0^\omega$ 和 $\Psi$ 几乎必然属于合适的 $L^q_T W^{s,r}_x$ 空间。
• 通过 Young 不等式和 Sobolev 嵌入估计非线性项 $\mathcal{N}(v+\Psi) = |v+\Psi|^{p-1}(v+\Psi)$ 在 $L^{p+1}_x$-基范数下的大小。
• 在小时间区间 $T = T_\omega > 0$ 上于 $C_T W^{s,r}_x$ 中执行压缩映射论证，依赖于 $T^\theta$ 因子的充分小性，其中 $\theta > 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在比以往研究更粗糙的噪声下（如 $\phi \in \text{HS}(L^2; H^s)$ 且 $s < 1$）建立带加法噪声的 SNLS 的局部适定性？
• RQ2 初始数据的维纳随机化是否允许在更粗糙的函数空间中更简便地构造解，特别是在随机卷积缺乏正则性时？
• RQ3 在非光滑噪声存在下，仅靠色散估计是否足以证明局部适定性，而无需依赖完整的 Strichartz 估计？
• RQ4 为确保在 $H^s$-基空间中存在唯一局部解，随机卷积 $\Psi$ 所需的最小正则性是什么？
• RQ5 噪声的概率结构如何影响适定性阈值，特别是在能量超临界情形下？

主要发现

• 本文证明了在 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 中，即使噪声比以往考虑的更粗糙，带加法噪声的 SNLS 仍具有局部适定性，其中 $s \geq \max(s_{\text{crit}}, 0)$。
• 研究建立：随机卷积 $\Psi$ 几乎必然属于 $L^q_T W^{s,r}_x$ 空间，其中 $q \gg 1$ 且 $r$ 适当，从而使得在粗糙空间中可实施压缩映射。
• 通过将维纳随机化应用于初始数据，该方法在 $s_{\text{crit}} = 0$ 或 $s_{\text{crit}} < 1$ 的情况下仍能实现适定性，从而扩展至能量次临界情形之外。
• 压缩映射依赖于小时间因子 $T^\theta$（$\theta > 0$），确保在足够小的时间区间 $T = T_\omega > 0$ 内于 $C_T W^{s,r}_x$ 中收敛。
• 该结果在能量次临界和能量超临界情形下均成立，后者要求 $s > s_{\text{crit}} - 1$ 且 $r = \frac{2d}{d-2} - \delta$，其中 $\delta > 0$ 很小。
• 概率 Strichartz 估计确保 $S(t)u_0^\omega$ 和 $\widetilde{\Psi} = S(t)u_0^\omega + \Psi$ 几乎必然属于所需函数空间，从而支持压缩映射论证。