[论文解读] On the strange duality conjecture for abelian surfaces II

Barbara Bolognese, Alina Marian+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文為阿贝尔曲面的勒波蒂埃奇異對偶猜想提出了一個新版本，證明了在固定行列式與傅里葉-穆卡伊變換行列式的模空間上，截面空間之間的同構關係。作者利用秩一情形下的海森堡群表示理論與傅里葉-穆卡伊技巧，對一大類 Mukai 向量在一般情況下證明了對偶性，並顯示編碼 theta 函數變化的 Verlinde 線叢在模空間上是局部自由的。

ABSTRACT

In the prequel to this paper, two versions of Le Potier's strange duality conjecture for sheaves over abelian surfaces were studied. A third version is considered here. In the current setup, the isomorphism involves moduli spaces of sheaves with fixed determinant and fixed determinant of the Fourier-Mukai transform on one side, and moduli spaces where both determinants vary, on the other side. We first establish the isomorphism in rank one using the representation theory of Heisenberg groups. For product abelian surfaces, the isomorphism is then shown to hold for sheaves with fiber degree 1 via Fourier-Mukai techniques. By degeneration to product geometries, the duality is obtained generically for a large number of numerical types. Finally, it is shown in great generality that the Verlinde sheaves encoding the variation of the spaces of theta functions are locally free over moduli.

研究动机与目标

• 提出並證明阿貝爾曲面上勒波蒂埃奇異對偶猜想的第三版本，涉及模空間設定：一側固定行列式與傅里葉-穆卡伊變換的行列式，另一側允許兩者皆變動。
• 利用海森堡群表示理論，在秩一情形下建立對偶同構。
• 透過傅里葉-穆卡伊技巧，將對偶性推廣至纖維度數為一的乘積阿貝爾曲面。
• 透過退化至乘積幾何結構，將結果推廣至一大類數值類型。
• 證明編碼 theta 函數變化的 Verlinde 線叢在模空間上是局部自由的。

提出的方法

• 利用海森堡群表示理論證明秩一情形下的奇異對偶同構。
• 應用傅里葉-穆卡伊變換，連結固定行列式的層模空間與其變換後行列式也固定的模空間。
• 構造阿爾巴內塞映射 $\mathsf{a}: \mathsf{M}_v \to X \times \widehat{X}$，其纖為空間 $\mathsf{K}_v$，以定義固定行列式的子空間。
• 透過普遍族構造模空間 $\mathsf{M}_v$ 上的行列式線叢 $\Theta_F = \det \mathbf{R} p_!(\mathcal{E} \otimes q^*F)^{-1}$。
• 運用退化技術至乘積幾何結構，將乘積阿貝爾曲面上的對偶結果推廣至一般阿貝爾曲面，一般情況下成立。
• 證明編碼 theta 函數空間變化的 Verlinde 線叢 $\mathcal{V}(v,w)$ 在模空間上是局部自由的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非對稱設定下奇異對偶性是否成立：一側固定行列式與傅里葉-穆卡伊變換的行列式，另一側允許兩者皆變動？
• RQ2 能否利用海森堡群表示理論在秩一情形下建立奇異對偶同構？
• RQ3 是否能透過退化技術將對偶性從乘積阿貝爾曲面推廣至一般阿貝爾曲面？
• RQ4 編碼 theta 函數變化的 Verlinde 線叢在層的模空間上是否局部自由？
• RQ5 在此新對偶設定下，截面空間維數之間的精確數值關係為何？

主要发现

• 透過海森堡群表示理論，在秩一情形下證明了奇異對偶同構，從而對一大類 Mukai 向量建立了對偶性。
• 對於纖維度數為一的乘積阿貝爾曲面，利用傅里葉-穆卡伊技巧與阿爾巴內塞映射結構，證明了對偶同構。
• 透過退化至乘積幾何結構，證明對偶性在一大範圍的 Mukai 向量數值類型上一般成立。
• 在對偶映射下，截面空間 $H^0(\mathsf{K}_v, \Theta_w)$ 與 $H^0(\mathsf{M}_w, \Theta_v)$ 被證明同構，且其維數符合組合公式 $\frac{d_v^2}{d_v + d_w} \binom{d_v + d_w}{d_v}$。
• 編碼 theta 函數空間變化的 Verlinde 線叢 $\mathcal{V}(v,w)$ 在層模空間上被證明是局部自由的。
• 映射 $\alpha$ 對應於線叢 $\Theta_F$ 的核被證明與子概形 $\mathsf{G}_w$ 一致，從而透過阿爾巴內塞映射確認了對偶條件。