[论文解读] On the streaming complexity of fundamental geometric problems

Arijit Bishnu, Arijit Ghosh+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用 3

一句话总结

本文在单遍流模型中为基本几何问题建立了紧致的空间复杂度下界，并设计了匹配的近似算法。研究分析了基尔测度、凸体近似和不协调性问题，证明了随机化流算法在 ε-加法近似下需要 Ω(1/ε) 的空间，且算法实现了最优空间使用效率；同时表明，有序输入可使颜色不协调性问题实现 O(1) 空间的精确计算。

ABSTRACT

In this paper, we focus on lower bounds and algorithms for some basic geometric problems in the one-pass (insertion only) streaming model. The problems considered are grouped into three categories: (i) Klee's measure (ii) Convex body approximation, geometric query, and (iii) Discrepancy Klee's measure is the problem of finding the area of the union of hyperrectangles. Under convex body approximation, we consider the problems of convex hull, convex body approximation, linear programming in fixed dimensions. The results for convex body approximation implies a property testing type result to find if a query point lies inside a convex polyhedron. Under discrepancy, we consider both the geometric and combinatorial discrepancy. For all the problems considered, we present (randomized) lower bounds on space. Most of our lower bounds are in terms of approximating the solution with respect to an error parameter $ε$. We provide approximation algorithms that closely match the lower bound on space for most of the problems.

研究动机与目标

• 在单遍流模型中为基本几何问题建立强有力的空间复杂度下界。
• 设计匹配所推导下界的最优近似算法，适用于基尔测度和凸体近似等问题。
• 研究输入顺序对流复杂度的影响，特别是对不协调性问题的影响。
• 探索流复杂度与性质测试之间的联系，特别是与凸包成员关系相关的问题。
• 证明当流按坐标排序时，颜色不协调性的精确计算可实现常数空间。

提出的方法

• 使用随机化通信复杂度技术，推导几何问题的 ϵ-加法空间下界。
• 将几何问题约化为通信问题（如索引问题和不相交问题），以证明下界。
• 设计单遍流算法，通过采样和概要技术使空间复杂度匹配下界。
• 应用多遍转换，利用对数次遍历将 ϵ-加法算法转换为 ϵ-乘法算法。
• 利用有序流的结构，通过跟踪前缀差值，实现颜色不协调性在 O(1) 空间内的精确计算。
• 采用豪斯多夫距离定义凸体的 ε-近似，并将其与几何和线性规划问题关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 d 维空间中，单遍流算法计算基尔测度的 ϵ-加法近似，其最小空间需求是多少？
• RQ2 在固定维度下，凸体近似和线性规划问题是否可以实现匹配信息论下界的时空复杂度？
• RQ3 输入顺序如何影响几何不协调性问题的流复杂度？
• RQ4 凸包成员关系的性质测试的流复杂度是多少？其与凸体近似有何关联？
• RQ5 当流按坐标排序时，是否可在常数空间内实现颜色不协调性的精确计算？

主要发现

• 本文证明，在流模型中，任何单遍随机化算法计算基尔测度的 ϵ-加法近似，均需 Ω(1/ε) 的空间。
• 对于凸体近似及相关问题，本文提出算法，其空间复杂度与推导出的 Ω(1/ε) 下界完全匹配，从而建立了紧致的界限。
• 在一般流中，颜色不协调性问题需要 Ω(n) 的空间，但当输入按坐标排序时，可在 O(1) 空间内精确求解。
• 构建了一种多遍算法，通过 O(log(1/O)) 次遍历将 ϵ-加法单遍算法转换为 ϵ-乘法算法，其中 O 为最优解值。
• 对于有序流，颜色不协调性 D_c(P) 可通过仅跟踪红点与蓝点计数运行差值的最大值与最小值，实现仅用 O(1) 空间的精确计算。
• 本文建立了颜色不协调性的最优解为 D_c(P) = max_p(R([0,p]) - B([0,p])) - min_q(R([0,q]) - B([0,q])) + 1，从而支持常数空间计算。