[论文解读] On the strong Markov property for stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion

Mingshang Hu, Xiaojun Ji+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过利用普遍连续性和一致性性质，在随机时间点构造条件$G$-期望，建立了由$G$-布朗运动驱动的随机微分方程（SDEs）的强马尔可夫性质。关键结果是：在停止时间$\tau$之后，过程$(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t\geq 0}$仍为$G$-布朗运动，该性质被用于证明$G$-布朗运动的水平集几乎必然不含孤立点。

ABSTRACT

In this paper we study the stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion ($G$-SDEs for short). We extend the notion of conditional $G$-expectation from deterministic time to the more general optional time situation. Then, via this conditional expectation, we develop the strong Markov property for $G$-SDEs. In particular, we obtain the strong Markov property for $G$-Brownian motion. Some applications including the reflection principle for $G$-Brownian motion are also provided.

研究动机与目标

• 将确定时间的条件$G$-期望扩展至随机停止时间，从而在非线性期望框架下研究强马尔可夫性质。
• 为博雷尔可测函数构造一个正则条件$G$-期望$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$，使其保留经典条件期望的关键性质，但不包含线性性。
• 利用柯尔莫哥洛夫紧致性准则，克服非线性设定下控制收敛定理的缺失，建立$G$-SDE的强马尔可夫性质。
• 证明$G$-布朗运动的反射原理成立，且停止时间$\tau$之后的增量$B_{\tau+t} - B_\tau$仍为$G$-布朗运动。
• 应用强马尔可夫性质，证明水平集$\mathcal{L}_\omega(a) = \{t \geq 0 : B_t(\omega) = a\}$几乎必然不含孤立点。

提出的方法

• 通过普遍连续性估计（引理3.3）和新的相容性性质（命题3.9），将确定时间的条件$G$-期望$\hat{\mathbb{E}}_t[\cdot]$扩展至随机时间$\tau$。
• 为一大类博雷尔函数构造$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$，确保其关于$\mathcal{F}_{\tau+}$可测且具有正则性。
• 将标准离散化方法适配于$G$-SDE的强马尔可夫性质证明，利用$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$的性质。
• 利用柯尔莫哥洛夫紧致性准则，绕过非线性期望设定下控制收敛定理的失效。
• 应用强马尔可夫性质分析$G$-布朗运动的路径行为，特别是其符号变化与无界振荡。
• 采用反射原理与路径分析方法，证明水平集$\mathcal{L}_\omega(a)$无界且不含孤立点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$G$-期望框架下，条件$G$-期望能否从确定时间有意义地推广至随机停止时间？
• RQ2 强马尔可夫性质是否对$G$-SDE成立，即对任意随机时间$\tau$，是否有$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\varphi(X_{\tau+t_1}^x, \dots, X_{\tau+t_m}^x)] = \hat{\mathbb{E}}[\varphi(X_{t_1}^y, \dots, X_{t_m}^y)]_{y=X_\tau^x}$成立？
• RQ3 在随机时间$\tau$之后，过程$(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t \geq 0}$是否仍为$G$-布朗运动？
• RQ4 $G$-布朗运动的水平集$\mathcal{L}_\omega(a) = \{t \geq 0 : B_t(\omega) = a\}$是否几乎必然不含孤立点？
• RQ5 强马尔可夫性质能否用于证明$G$-布朗运动的路径正则性，例如在零点附近有无限次符号变化？

主要发现

• 为一大类博雷尔函数构造了条件$G$-期望$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$，确保其关于$\mathcal{F}_{\tau+}$可测，并保留经典条件期望的关键性质，但不包含线性性。
• 强马尔可夫性质对$G$-SDE成立：对任意随机时间$\tau$，有$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\varphi(X_{\tau+t_1}^x, \dots, X_{\tau+t_m}^x)] = \hat{\mathbb{E}}[\varphi(X_{t_1}^y, \dots, X_{t_m}^y)]_{y=X_\tau^x}$。
• 对任意随机时间$\tau$，增量$(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t \geq 0}$为$G$-布朗运动，确认了$G$-框架下的反射原理。
• $G$-布朗运动的水平集$\mathcal{L}_\omega(a)$几乎必然不含孤立点，该结论通过强马尔可夫性质与符号变化的路径分析得以证明。
• $B$在任意区间$[0, \varepsilon]$内几乎必然无限次改变符号，意味着$\tau_1 = \inf\{t > 0 : B_t > 0\} = 0$ q.s.，负部分同理。
• $\mathcal{L}_\omega(a)$几乎必然无界，且勒贝格测度为零，且具有孤立点的路径集合为零容量集。