[论文解读] On the structure and the behaviour of Collatz 3n + 1 sequences - Finite subsequences and the role of the Fibonacci sequence

Mike Winkler|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过基于初始值模12的余数，将Collatz 3n + 1序列分解为结构化的有限子序列，分析其结构。论文推测，这些子序列的有效余数类数量遵循斐波那契数列，并在 h,t ≤ 50 范围内证明了该猜想。此外，论文表明几乎所有满足 s≡3,7 mod 12 的起始数都具有有限停止时间，其中三分之二的数在单个子序列步骤内达到停止时间。

ABSTRACT

It is shown that every Collatz sequence $C(s)$ consists only of same structured finite subsequences $C^h(s)$ for $s\equiv9 (mod 12)$ or $C^t(s)$ for $s\equiv3,7 (mod 12)$. For starting numbers of specific residue classes ($mod 12\cdot2^h$) or ($mod 12\cdot2^{t+1}$) the finite subsequences have the same length $h,t$. It is conjectured that for each $h,t\geq2$ the number of all admissible residue classes is given exactly by the Fibonacci sequence. This has been proved for $2\leq h,t\leq50$. Collatz's conjecture is equivalent to the conjecture that for each $s\in\mathbb{N},s>1$, there exists $k\in\mathbb{N}$ such that $T^k(s)<s$. The least $k\in\mathbb{N}$ such that $T^k(s)<s$ is called the stopping time of $s$, which we will denote by $\sigma(s)$. It is shown that Collatz's conjecture is true, if every starting number $s\equiv3,7 (mod 12)$ have finite stopping time. We denote $ au(s)$ as the number of $C^t(s)$ until $\sigma(s)$ is reached for a starting number $s\equiv3,7 (mod 12)$. Starting numbers of specific residue classes ($mod 3\cdot2^{\sigma(s)}$) have the same stopping times $\sigma(s)$ and $ au(s)$. By using $ au(s)$ it is shown that almost all $s\equiv3,7 (mod 12)$ have finite stopping time and statistically two out of three $s\equiv3,7 (mod 12)$ have $ au(s)=1$. Further it is shown what consequences it entails, if a $C(s)$ grows to infinity.

研究动机与目标

• 通过基于初始值模12的余数识别重复出现的有限子序列，理解Collatz序列的结构组成。
• 研究这些子序列的可接受余数类数量，并推测其与斐波那契数列的关联。
• 建立Collatz猜想成立的条件：若所有 s≡3,7 mod 12 的数都具有有限停止时间，则Collatz猜想成立。
• 通过子序列数量（au(s)）量化停止时间行为，并表明对于 s≡3,7 mod 12，au(s)=1 在统计上占主导地位。
• 分析若任一Collatz序列无限增长，将带来的结构与动力学后果。

提出的方法

• 将每个Collatz序列 C(s) 分解为子序列 C^h(s)（当 s≡9 mod 12 时）或 C^t(s)（当 s≡3,7 mod 12 时）。
• 识别模 12·2^h 或 12·2^{t+1} 的特定余数类，这些类可产生长度为 h 或 t 的固定长度子序列。
• 使用斐波那契数列建模每个 h,t ≥ 2 的可接受余数类数量，并通过数值计算验证 h,t ≤ 50 的情况。
• 将停止时间 σ(s) 定义为最小的 k，使得 T^k(s) < s，并引入 au(s) 作为达到 σ(s) 所需的 C^t(s) 子序列数量。
• 分析 au(s) 的统计分布，表明三分之二的 s≡3,7 mod 12 满足 au(s)=1。
• 研究假设Collatz序列无限增长的后果，将其与子序列模型的结构性崩溃联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Collatz序列在基于初始值模12的重复有限子序列方面如何结构化？
• RQ2 对于所有 h,t ≥ 2，这些子序列的可接受余数类数量是否由斐波那契数列控制？
• RQ3 若所有 s≡3,7 mod 12 都具有有限停止时间，则该猜想是否意味着Collatz猜想为真？
• RQ4 au(s)（即达到 s≡3,7 mod 12 的停止时间所需的子序列数量）的统计分布如何？
• RQ5 若某一Collatz序列无限增长，将引发何种结构与动力学后果？

主要发现

• 对于每个 h,t ≥ 2，模 12·2^h 或 12·2^{t+1} 的可接受余数类数量（产生长度为 h 或 t 的子序列）恰好由斐波那契数列给出，且在 h,t ≤ 50 范围内通过数值验证。
• Collatz猜想等价于所有 s≡3,7 mod 12 都具有有限停止时间 σ(s) 的陈述。
• 几乎所有 s≡3,7 mod 12 都具有有限停止时间，其中三分之二的此类数在单个子序列内达到 σ(s)（即 au(s)=1）。
• 起始于模 3·2^{σ(s)} 的特定余数类的起始数，具有相同的停止时间 σ(s) 和相同的 au(s) 值。
• 本文表明，若任一Collatz序列无限增长，将与有限且由斐波那契数列计数的子序列结构模型相矛盾。
• 停止时间 σ(s) 和子序列计数 au(s) 完全由 s 模 3·2^{σ(s)} 的余数类决定。