[论文解读] On the structure of a class of distributions obeying the principle of a single big jump

Hui Xu, Michael Scheutzow+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Probability and Risk Models参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文研究满足单个大跳跃原理的重尾分布类 $Σ$，证明此类分布必然是强重尾的，且与亚指数分布不弱尾等价。通过构造显式例子表明 $Σ \cap \mathcal{K}$ 严格包含亚指数分布与支配变尾分布，揭示了一个丰富且非平凡的结构，超越了已知类别。

ABSTRACT

In this paper, we present several heavy-tailed distributions belonging to the new class J of distributions obeying the principle of a single big jump introduced by Beck et al. [1]. We describe the structure of this class from different angles. First, we show that heavy-tailed distributions in the class J are automatically strongly heavy-tailed and thus have tails which are not too irregular. Second, we show that such distributions are not necessarily weakly tail equivalent to a subexponential distribution. We also show that the class of heavy-tailed distributions in J which are neither long-tailed nor dominatedly-varying-tailed is not only non-empty but even quite rich in the sense that it has a nonempty intersection with several other well-established classes. In addition, the integrated tail distribution of some particular of these distributions shows that the Pakes-Veraverbeke-Embrechts Theorem for the class J in [1] does not hold trivially.

研究动机与目标

• 表征满足单个大跳跃原理的分布类 $Σ$ 的结构性质。
• 澄清 $Σ$ 与已确立的重尾分布类（如亚指数分布 ($\mathcal{S}$)、支配变尾分布 ($\mathcal{D}$) 和长尾分布 ($\mathcal{L}$)）之间的关系。
• 研究 $Σ$ 中的分布是否与亚指数分布弱尾等价。
• 证明在 $Σ$ 中既非长尾也非支配变尾的重尾分布类非空且丰富，且与多个已确立的类相交。
• 通过集成尾分布的具体例子，检验 Pakes-Veraverbeke-Embrechts 定理由于 $Σ$ 类的适用性。

提出的方法

• 通过条件引入类 $Σ$：当 i.i.d. 随机变量之和超过大阈值时，最大值项主导总和的概率随阈值增加而趋于 1。
• 利用三种表述的等价性：(1) 最大顺序统计量以高概率主导总和，(2) 第二大值是紧致的，(3) 第二大值以趋于零的概率超过任意递增函数。
• 应用强重尾分布的概念，定义为对所有 $\lambda > 0$，有 $\lim_{x\to\infty} e^{\lambda x} \overline{F}(x) = \infty$，以建立 $Σ \cap \mathcal{K}$ 内部的层次结构。
• 构造一个特定例子 $F^I$，其尾部在 dyadic 区间 $[2^n, 2^{n+1})$ 上分段定义，尾部衰减为 $2^{(3n-2-n^2)/2}$，以证明其属于 $Σ$。
• 使用涉及集成尾分布和尾行为的积分估计，验证单个大跳跃性质，分析不同 $x$ 范围内的边界 $B_1(x)$ 和 $B_2(x)$。
• 利用弱尾等价 $\overline{F} \thickapprox \overline{G}$ 表明 $F^I$ 不与任何亚指数分布弱尾等价，依据 $\overline{F^I}(x-t)/\overline{F^I}(x)$ 的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有属于类 $Σ$ 的重尾分布是否必然为强重尾？
• RQ2 $Σ \cap \mathcal{K}$ 是否严格大于 $\mathcal{S} \cup \mathcal{D}$？若是，其丰富程度如何？
• RQ3 是否可能使 $Σ$ 中的分布与亚指数分布弱尾等价？
• RQ4 Pakes-Veraverbeke-Embrechts 定理由于 $Σ$ 类是否非平凡成立，或对某些例子是否为平凡成立？
• RQ5 $F \in \u03a3$ 与其中的集成尾分布 $F^I$ 之间存在何种关系，特别是在 $Σ$ 成员资格方面？

主要发现

• 类 $Σ \cap \mathcal{K}$ 严格包含于强重尾分布类 ($\mathcal{DK}^c$) 中，且该包含关系是真包含，如例 2.1 所示。
• 所构造的例子 $F^I$ 满足单个大跳跃原理，通过证明当 $K \to \infty$ 时 $B_1(x) \to 0$ 且 $B_2(x) \to 0$ 得到验证，确认 $F^I \in \u03a3$。
• 分布 $F^I$ 不与任何亚指数分布弱尾等价，因为当 $n \to \infty$ 时，有 $\overline{F^I}(x-t)/\overline{F^I}(x) \sim 1 + t$，违反了弱尾等价的条件。
• 在 $Σ$ 中既非长尾也非支配变尾的重尾分布类非空，且与多个著名类相交，表明其具有丰富且非平凡的结构。
• 对 $F^I$ 的集成尾分布分析表明，$Σ$ 类的 Pakes-Veraverbeke-Embrechts 定理并非平凡成立，因为其尾部行为与标准亚指数衰减不一致。
• 该例子还表明，$F \in \u03a3$ 并不蕴含 $F^I \in \u03a3$，反之亦然，即使 $F$ 具有有限一阶矩，凸显了分布与其集成尾之间关系的非平凡性。