[论文解读] On the structure of asymptotic l_p spaces

Edward Odell, Th. Schlumprecht+1 more|ArXiv.org|Mar 2, 2006

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

该论文证明了每个关于 $\ell_p$ 渐近的可分、自反的巴拿赫空间（其中 $1 \leq p \leq \infty$）均可同构嵌入到一个具有渐近 $\ell_p$ 有限维分解（FDD）的自反空间中。关键贡献在于通过嵌入与商空间性质，提出了一种关于满足渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-树估计的自反空间的一般表征方法，该方法基于一种新颖的渐近上界与下界估计框架，结合次对称基。

ABSTRACT

We prove that if X is a separable, reflexive space which is asymptotic l_p, then X embeds into a reflexive space Z having an asymptotic l_p finite-dimensional decomposition. This result leads to an intrinsic characterization of subspaces of spaces with an asymptotic l_p FDD. More general results of this type are also obtained.

研究动机与目标

• 通过可分自反空间嵌入到具有渐近 $\ell_p$ FDD 的自反空间中的性质，对渐近于 $\ell_p$ 的自反巴拿赫空间进行表征。
• 将该表征推广至满足渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-估计的空間（$1 \leq q \leq p \leq \infty$），包括 $p=\infty$ 的情形（即 $c_0$-类行为）。
• 建立一种使用次对称基的渐近 $U$-上界与 $V$-下界估计的一般框架，特别关注凸化茨列尔森空间。
• 证明此类空间不仅可嵌入，而且是具有渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-估计的自反空间的商空间，从而提供一个对偶性结果。

提出的方法

• 引入空间 $Z_V(E)$，这是 $\ell_p$-和的一般化，由一列有限维空间 $E_i$ 和一个具有无条件基的巴拿赫空间 $V$ 构造而成，特别关注凸化茨列尔森空间。
• 发展渐近 $U$-上界与 $V$-下界树估计的理论，其中 $U$ 和 $V$ 是具有次对称基、满足对称子序列性质（SSP）与弱无序列性质（WNS）的巴拿赫空间。
• 利用对偶空间 $U^{(*)}$ 与 $V^{(*)}$ 的对偶论证，将空间 $X$ 的渐近结构与其对偶 $X^*$ 的渐近结构联系起来，从而实现对称表征。
• 使用 $\gamma$-树估计（$T(V,\gamma)$）控制块序列的渐近行为，并应用稳定性结果，将其约化为具有 1-无条件基的自反、次对称空间。
• 运用嵌入定理（定理 3.1、推论 3.2、定理 3.4），将渐近树估计的存在性与嵌入及商映射到 $Z_V(E)$ 和 $Y_V(F)$ 空间联系起来。
• 采用重赋范技术，确保 FDD 投影常数为 1，从而可使用 $w^*$-稠密、1-范数化的对偶空间，并实现对偶关系 $Z^{(*)(*)}=Z$。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个可分、自反的巴拿赫空间 $X$ 可嵌入到具有渐近 $\ell_p$ FDD 的自反空间中？
• RQ2 空间 $X$ 需满足何种内在条件，才能保证其满足渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-树估计（$1 \leq q \leq p \leq \infty$）？
• RQ3 此类空间是否不仅能通过嵌入，还能通过商结构在具有渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-估计的空间中被表征？
• RQ4 当 $X$ 满足渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-树估计时，$X$ 与 $X^*$ 的渐近性质之间有何关系？
• RQ5 凸化茨列尔森空间在构造渐近估计的模型空间中起什么作用？

主要发现

• 每个关于 $\ell_p$ 渐近的可分、自反巴拿赫空间（$1 \leq p \leq \infty$）均可同构嵌入到一个具有渐近 $\ell_p$ FDD 的自反空间 $Z$ 中。
• 一个自反空间 $X$ 满足渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-树估计，当且仅当它可嵌入到一个具有 FDD 且满足渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-估计的自反空间 $Z$ 中。
• 同样的空间 $X$ 也是具有渐近 $(\ell_p, \ell_q)$-估计的自反空间的商空间，从而建立了嵌入与商结构之间的对偶性。
• 该表征在 $p=\infty$（即 $c_0$-类行为）或 $q=1$ 的情况下依然成立，且该框架可扩展至整个范围 $1 \leq q \leq p \leq \infty$。
• 证明依赖于 $T_{p,\gamma}$-空间及其对偶的构造，表明在适当的对偶关系下，$T_{p,\gamma}^*$ 中的归一化块序列 1-控制 $T_{q,\gamma}^*$ 中的块序列。
• 该结果通过证明渐近 $\ell_p$ 空间可嵌入到具有渐近 $\ell_p$ FDD 的自反空间中，并且是此类空间的商空间，从而解决了 [OS1] 中的问题 5.4。