[论文解读] On the structure of classical realizability models of ZF

Jean-Louis Krivine|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文证明了每个 ZF 的经典实现模型都包含一个与原模型具有相同序数的传递子模型，且该子模型是基模型的初等扩张。关键结果通过实现模型特征布尔代数上的一个超滤子推导得出，结论为：实现模型的可构造宇宙是基模型可构造宇宙的初等子模型。

ABSTRACT

The technique of "classical realizability" is an extension of the method of "forcing"; it permits to extend the Curry-Howard correspondence between proofs and programs, to Zermelo-Fraenkel set theory and to build new models of ZF, called "realizability models". The structure of these models is, in general, much more complicated than that of the particular case of "forcing models". We show here that the class of constructible sets of any realizability model is an elementary extension of the constructibles of the ground model (a trivial fact in the case of forcing, since these classes are identical). It follows that Shoenfield absoluteness theorem applies to realizability models.

研究动机与目标

• 研究 ZF 的经典实现模型的结构性质，特别是其内部子模型。
• 确定此类模型是否包含保持基模型序数和初等性质的传递子模型。
• 分析实现模型中可构造宇宙与基模型中可构造宇宙之间的关系。
• 建立实现模型中一个良基关系，以实现向传递类的坍塌。

提出的方法

• 作者使用基于实现代数（含项、栈、进程和类似证明的项）的经典实现框架。
• 他们定义了与实现模型相关联的特征布尔代数 $\gimel 2$，并在其上构造一个超滤子以分析可定义关系。
• 通过实现模型上的真值谓词 $\cal D$ 定义了一个良基关系 $\in_{\cal D}$，该关系捕捉了“被实现的”成员关系概念。
• 坍塌函数 $\Phi$ 的构造方式类似于秩函数，将良基关系 $\in_{\cal D}$ 映射到模型 $\mathcal{N}_\in$ 中的一个传递类。
• 证明了模型 $\mathcal{N}_\in$ 满足 ZF，且通过 $\Phi$ 得到的传递类是基模型 $\mathcal{M}$ 的初等扩张。
• 该构造依赖于每个 ZF 公理存在一个类似证明的项来实现，从而确保模型的保守性和正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 ZF 的经典实现模型是否都包含一个保持原模型序数的传递子模型？
• RQ2 通过坍塌得到的传递子模型是否是基模型的初等扩张？
• RQ3 实现模型中的可构造宇宙 $L^\mathcal{N}$ 与基模型中的可构造宇宙 $L^\mathcal{M}$ 有何关系？
• RQ4 能否利用特征布尔代数和一个超滤子来确立实现模型中成员关系的良基性？
• RQ5 超滤子在 $\gimel 2$ 上的作用是什么，以确保传递且初等的子模型的存在？

主要发现

• 每个 ZF 的实现模型 $\mathcal{N}$ 都包含一个与 $\mathcal{N}$ 具有相同序数的传递子模型。
• 该传递子模型是基模型 $\mathcal{M}$ 的初等扩张，即所有在 $\mathcal{M}$ 中为真的的一阶句子在该子模型中依然为真。
• 通过特征布尔代数 $\gimel 2$ 上存在合适的超滤子，确立了 $\mathcal{N}$ 中关系 $\in_{\cal D}$ 的良基性。
• 坍塌函数 $\Phi$ 将良基关系 $\in_{\cal D}$ 映射到 $\mathcal{N}_\in$ 中的一个传递类，同时保持成员关系结构。
• 基模型的可构造宇宙 $L^\mathcal{M}$ 是实现模型中可构造宇宙 $L^\mathcal{N}$ 的初等子模型。
• 模型 $\mathcal{N}_\in$ 满足 ZF，且 $\mathcal{N}$ 中公式的真值是 $\Pi$ 的子集，实现性通过类似证明的项来定义。