[论文解读] On the structure of (co-Frobenius) Hopf algebras

Nicolás Andruskiewitsch, Juan Cuadra|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文引入了标准过滤——这是具有内射反向的霍普夫代数的余根基过滤的推广——从而得到一个结构定理：任何此类霍普夫代数均可作为其霍普夫余根基在耶特-德林费尔德模中的连通分次图的玻色尼化变形。关键贡献在于一个刻画：霍普夫代数是余弗罗贝尼乌斯的，当且仅当其霍普夫余根基是余弗罗贝尼乌斯的，且其图是有限维的，此时标准过滤是有限的。

ABSTRACT

We introduce a new filtration on Hopf algebras, the standard filtration, generalizing the coradical filtration. Its zeroth term, called the Hopf coradical, is the subalgebra generated by the coradical. We give a structure theorem: any Hopf algebra with injective antipode is a deformation of the bosonization of the Hopf coradical by its diagram, a connected graded Hopf algebra in the category of Yetter-Drinfeld modules over the latter. We discuss the steps needed to classify Hopf algebras in suitable classes accordingly. For the class of co-Frobenius Hopf algebras, we prove that a Hopf algebra is co-Frobenius if and only if its Hopf coradical is so and the diagram is finite dimensional. We also prove that the standard filtration of such Hopf algebras is finite. Finally, we show that extensions of co-Frobenius (resp. cosemisimple) Hopf algebras are co-Frobenius (resp. cosemisimple).

研究动机与目标

• 通过一种新过滤——称为标准过滤——推广余根基过滤，适用于具有内射反向的霍普夫代数。
• 提供此类霍普夫代数的结构分解，将其视为其霍普夫余根基在耶特-德林费尔德模中的连通分次图的玻色尼化变形。
• 通过将问题归约为分类余弗罗贝尼乌斯霍普夫余根基和相关耶特-德林费尔德范畴中的有限维连通分次霍普夫代数，对余弗罗贝尼乌斯霍普夫代数进行分类。
• 建立扩展霍普夫代数保持余弗罗贝尼乌斯或余半单性质的条件。
• 通过证明在此类情况下标准过滤是有限的，解决关于余弗罗贝尼乌斯霍普夫代数余根基过滤有限性的猜想。

提出的方法

• 通过从霍普夫余根基（由余根基生成的子代数）出发，对余根基进行迭代的楔积运算来定义标准过滤。
• 证明当反向是内射时，标准过滤是霍普夫代数过滤，从而可构造相应的分次霍普夫代数 $\operatorname{gr}H$。
• 将 $\operatorname{gr}H$ 识别为霍普夫余根基 $H_{[0]}$ 与耶特-德林费尔德 $H_{[0]}$-模范畴中一个连通分次霍普夫代数 $R$（即 $H$ 的图）的玻色尼化。
• 利用此结构，在适当的上同调框架下将 $H$ 解释为 $\operatorname{gr}H$ 的变形。
• 将结构定理应用于余弗罗贝尼乌斯霍普夫代数类，利用涉及简单余模的有限维内射包络的表示论刻画。
• 通过扩张理论，特别是当商余模满足忠实平坦性假设时，建立余弗罗贝尼乌斯与余半单性质之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有内射反向的霍普夫代数可分解为其中心余根基在连通分次图上的玻色尼化变形？
• RQ2 霍普夫代数在何种情况下是余弗罗贝尼乌斯的？其性质如何与它的霍普夫余根基和图相关？
• RQ3 余弗罗贝尼乌斯霍普夫代数的标准过滤是否有限？这是否意味着其余根基过滤也是有限的？
• RQ4 在何种条件下，余弗罗贝尼乌斯（或余半单）霍普夫代数的扩张本身仍是余弗罗贝尼乌斯（或余半单）的？
• RQ5 在霍普夫代数扩张中，非零积分的存在性与余模的有限维内射包络之间的相互作用如何？

主要发现

• 具有内射反向的霍普夫代数微分同构于其霍普夫余根基在耶特-德林费尔德模范畴中连通分次霍普夫代数（即其图）的玻色尼化变形。
• 霍普夫代数是余弗罗贝尼乌斯的，当且仅当其霍普夫余根基是余弗罗贝尼乌斯的，且其图是有限维的。
• 余弗罗贝尼乌斯霍普夫代数的标准过滤是有限的，从而证实了关于该类中余根基过滤有限性的猜想。
• 在霍普夫代数扩张 $1 \to A \to B \to C \to 1$ 中，若 $B$ 作为 $C$-余模是忠实平坦的，则 $B$ 是余弗罗贝尼乌斯的当且仅当 $A$ 和 $C$ 都是余弗罗贝尼乌斯的。
• 在相同条件下，霍普夫代数 $B$ 是余半单的当且仅当 $A$ 和 $C$ 都是余半单的。
• 对于霍普夫代数映射 $g: K \to H$，若 $H$ 作为右 $K$-模是有限生成的，则 $H^0$ 是余弗罗贝尼乌斯的，当且仅当 $K^0$ 是余弗罗贝尼乌斯的；若 $H$ 是 $K$-平坦的，则反之亦然。