[论文解读] On the structure of $End_{u_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$

Qiang Fu, Qunguang Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 2

一句话总结

本文确定了在包含一个 $ l $ 次单位根（$ l \geq 3 $ 为奇数）的域 $ k $ 上的无穷小量子群 $ \mathfrak{u}_k(2) $ 的端自同态代数 $ \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) $ 的基本代数结构。通过小 $ q $-Schur 代数与 quiver 代数的表示理论，本文对块进行了分类，并通过带关系的 quiver 描述了端自同态代数的结构，表明其同构于依赖于块类型和 $ l $-权的本原代数的乘积。

ABSTRACT

Let $u_k(2)$ be the infinitesimal quantum $\frak{gl}_2$ over $k$, where $k$ is a field containing an $l$th primitive root $\epsilon$ of 1 with $l\geq 3$ {\it odd}. We will determine the basic algebra for ${u_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$, where $\Omega_k$ is the natural module for $u_k(2)$.

研究动机与目标

• 确定无穷小量子群 $ \mathfrak{u}_k(2) $ 的自然模 $ \Omega_k $ 的端自同态代数 $ \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) $ 的结构。
• 对小 $ q $-Schur 代数 $ \mathfrak{u}_k(2,r) $ 和无穷小 $ q $-Schur 代数 $ s_k(2,r) $ 的半单与非半单块进行分类。
• 利用带关系的 quiver 表示与关系，计算 $ \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) $ 的基本代数。
• 通过端自同态代数的结构，建立与无穷小量子群的 Schur–Weyl 对偶性的联系。

提出的方法

• 利用同构 $ \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) \cong \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2,r)}(\Omega_k^{\otimes r}) $，将问题简化为研究小 $ q $-Schur 代数 $ \mathfrak{u}_k(2,r) $。
• 应用文献 [1] 中关于 $ \mathfrak{u}'_k(2) $（即无穷小量子 $ \mathfrak{sl}_2 $）的表示理论结果，对不可约模与投射模进行分类。
• 利用投射覆盖与同态空间的结构，为每个块的基本代数构造带关系的 quiver。
• 基于 $ l $-权 $ \lambda $ 对 $ \mathfrak{u}_k(2,r) $ 的块进行分类，区分半单块与具有非单投射的块。
• 根据 $ r $ 与 $ l $ 计算非零半单块的数量 $ a $ 与非半单块的指标集 $ J $。
• 使用带关系的 quiver $ Q $：$ \alpha_1\beta_2 = \alpha_2\beta_1 = 0 $，$ \alpha_1\beta_1 = \alpha_2\beta_2 $，以及 $ \beta_1\alpha_1 = \beta_2\alpha_2 = \gamma\delta $，来描述非半单块的基本代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 无穷小量子群 $ \mathfrak{u}_k(2) $ 的自然模 $ \Omega_k $ 的端自同态代数 $ \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) $ 的结构是什么？
• RQ2 小 $ q $-Schur 代数 $ \mathfrak{u}_k(2,r) $ 的块如何分解？哪些是半单的？
• RQ3 端自同态代数 $ \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) $ 的 quiver 与关系集是什么？
• RQ4 在什么条件下块 $ \overline{B}_1^r(\lambda) $ 具有三个顶点和特定关系的 quiver？
• RQ5 块 $ \overline{B}_1^r(\lambda) $ 的大小如何影响端自同态代数的结构？

主要发现

• 端自同态代数 $ \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) $ 同构于基本代数的乘积：$ \Lambda_r \cong k^a \times \prod_{\lambda \in J} \Lambda_r(\overline{B}_1^r(\lambda)) $，其中 $ a $ 为非零半单块的数量。
• 若 $ r \geq 2l - 2 $，则 $ a = 1 $，即恰好存在一个非平凡的半单块。
• 当 $ l \leq r < 2l - 2 $ 时，非零半单块的数量为：若 $ r $ 为偶数，则 $ a = \frac{l - r}{2} $；若 $ r $ 为奇数，则 $ a = \frac{l - r + 1}{2} $。
• 对于 $ \lambda \in J \cap P_1(D) $，基本代数 $ \Lambda_r(\overline{B}_1^r(\lambda)) $ 的 quiver 有两个顶点 $ X, Y $ 与箭头 $ \alpha: X \to Y $，$ \beta: Y \to X $，关系为 $ \beta\alpha = 0 $。
• 对于 $ \lambda \in J \setminus P_1(D) $，基本代数 $ \Lambda_r(\overline{B}_1^r(\lambda)) $ 的 quiver 有三个顶点 $ X, Y, Z $，关系为 $ \alpha_i\beta_j = 0 $，$ \alpha_1\beta_1 = \alpha_2\beta_2 $，$ \beta_i\alpha_j = 0 $，$ \gamma\delta = 0 $，$ \gamma\beta_i = 0 $，$ \alpha_i\delta = 0 $，以及 $ \beta_1\alpha_1 = \beta_2\alpha_2 = \delta\gamma $。
• 当且仅当 $ \lambda \in P_1(D) $ 时，块 $ \overline{B}_1^r(\lambda) $ 的大小为 $ |\overline{B}_1^r(\lambda)| = 3 $；否则 $ |\overline{B}_1^r(\lambda)| \geq 5 $。