[论文解读] On the Structure of Equidistant Foliations of Euclidean Space

Christian Boltner|ArXiv.org|Dec 3, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文证明了欧氏空间中的任意等距叶状结构均包含一个仿射叶，推广了Gromoll与Walschap对正则叶状结构的结果。该文表明此类叶状结构由一个仿射叶的法空间中的紧致等距叶状结构与广义螺旋运动共同决定，并给出了叶状结构为齐次的条件，包括通过子度量分解构造出的新非紧致非齐次例子。

ABSTRACT

This thesis is concerned with equidistant foliations of Euclidean space, i.e. partitions into complete, connected, properly embedded smooth submanifolds. The space of leaves is an Alexandrov space of nonnegative curvature and the canonical projection is a submetry. Generalizing a result of Gromoll and Walschap we show that an equidistant foliation always has an affine leaf and we prove homogeneneity of the foliation under certain additional assumptions. Moreover, we give several reducibility results and construct new (noncompact) inhomogeneous examples of equidistant foliations.

研究动机与目标

• 确定欧氏空间中的等距叶状结构是否齐次，特别是在非紧致情形下。
• 将Gromoll与Walschap关于具有仿射叶的正则等距叶状结构的结果推广至奇异情形。
• 利用子度量与水平层上诱导叶状结构，刻画等距叶状结构的结构特征。
• 通过子度量的分解构造新的非紧致非齐次等距叶状结构。
• 识别出诱导叶状结构在法空间中蕴含原叶状结构齐次性的条件。

提出的方法

• 利用Cheeger-Gromoll灵魂构造，本文证明了在任意R^n的等距叶状结构中，即使在奇异情形下，也存在一个仿射叶。
• 研究了每个水平层L_p = p + ν_pF_0上的诱导叶状结构，表明其继承了等距性质。
• 叶状结构通过绕仿射叶的广义螺旋运动与法空间中诱导叶状结构的组合重建。
• 利用子度量理论与亚历山大洛夫空间的几何性质，分析了叶状空间B = R^n / F及其灵魂。
• 发展了一种分解程序，通过将诱导叶状结构取商，从已知叶状结构构造出新的非齐次等距叶状结构。
• 当诱导叶状结构的等距群在叶状空间灵魂上作用传递且有效时，证明了齐次性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个R^n中的等距叶状结构是否都包含一个仿射叶，即使在奇异情形下？
• RQ2 等距叶状结构能否分解为绕仿射叶的螺旋运动与法空间中紧致等距叶状结构的组合？
• RQ3 在什么条件下等距叶状结构是齐次的，特别是当法空间中的诱导叶状结构是齐次时？
• RQ4 能否通过子度量分解，从已知例子构造出新的非紧致非齐次等距叶状结构？
• RQ5 法空间中诱导叶状结构的等距性是否为原叶状结构齐次性的必要条件？

主要发现

• 每个R^n中的等距叶状结构至少包含一个仿射叶，将Gromoll与Walschap的结果推广至奇异情形。
• 叶状结构完全由绕仿射叶的广义螺旋运动与法空间中诱导的等距叶状结构决定。
• 每个水平层上的诱导叶状结构本身也是等距的；若所有此类诱导叶状结构彼此等距，则原叶状结构由其中一个诱导叶状结构与螺旋运动唯一确定。
• 若诱导叶状结构的等距群在叶状空间灵魂上作用传递且有效，则原叶状结构为齐次。
• 通过子度量分解构造出了新的非紧致非齐次等距叶状结构，提供了超越已知紧致例子的新实例。
• 提出一个猜想：原叶状结构的等距性蕴含诱导叶状结构的等距性，且诱导叶状结构的齐次性蕴含原叶状结构的齐次性，尤其在不可约情形下成立。