[论文解读] On the structure of instability in moduli theory

Daniel Halpern-Leistner|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 30

一句话总结

本文提出了一种模理论中 $Θ$-分层的一般理论，统一了 Harder-Narasimhan 分层与 Kempf-Ness 分层。它证明了满足 'HN 有界性' 条件的数值不变量可诱导代数堆上的 $Θ$-分层，从而使得在半稳定子集上构造良好模空间成为可能，并将理论扩展至经典 GIT 之外的领域，例如 Bridgeland 稳定性条件的问题。

ABSTRACT

We formulate a theory of instability and Harder-Narasimhan filtrations for an arbitrary moduli problem in algebraic geometry. We introduce the notion of a $Θ$-stratification of a moduli problem, which generalizes the Kempf-Ness stratification in GIT as well as the Harder-Narasimhan stratification of the moduli of coherent sheaves on a projective scheme. Our main theorems establish necessary and sufficient conditions for the existence of these stratifications. We define a structure on an algebraic stack called a numerical invariant, and we show that in many situations a numerical invariant defines a $Θ$-stratification on the stack, assuming a certain "HN boundedness" condition holds. We also discuss criteria under which the semistable locus has a moduli space. We apply our methods to an example that lies beyond the reach of classical methods: the stratification of the stack of objects in the heart of a Bridgeland stability condition.

研究动机与目标

• 开发一种超越经典几何不变理论（GIT）的模理论中不稳定性的通用框架。
• 定义并表征 $Θ$-分层，作为 Harder-Narasimhan 与 Kempf-Ness 分层的统一结构。
• 建立代数堆上数值不变量诱导 $Θ$-分层的条件，特别是 HN 有界性条件。
• 为非紧或非分离模堆中的半稳定子集的存在良好模空间提供判别准则。
• 将理论扩展至新情境，如心为 Bridgeland 稳定性条件的对象的模问题，这些情境超出了经典方法的适用范围。

提出的方法

• 引入 $Θ$-分层的概念，作为任意模问题中 Harder-Narasimhan 与 Kempf-Ness 分层的推广。
• 将代数堆上的数值不变量定义为检测不稳定性和构造 $Θ$-层的关键工具。
• 证明当 HN 有界性条件成立时，数值不变量可诱导出 $Θ$-分层，从而保证分层数有限且滤子结构良好。
• 利用形变理论与谱映射堆分析模堆中滤子对象与分次对象的结构。
• 将理论应用于全局商堆 $X/G$，并证明在适当条件下，滤子对象堆 $Θ$-收缩至分次对象堆。
• 利用退化空间 $ΔΕg(\mathcal{X},p)$ 与分量空间 $\mathcal{Comp}(\mathcal{X})$ 的结果，分析 $Θ$-分层的组合结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，代数堆上的数值不变量可诱导出 $Θ$-分层？
• RQ2 HN 有界性条件在确保 Harder-Narasimhan 滤子存在性中起何精确作用？
• RQ3 如何利用 $Θ$-分层在非紧或非分离模堆中构造半稳定子集的良好模空间？
• RQ4 $Θ$-分层理论能否应用于经典 GIT 无法触及的模问题，例如由 Bridgeland 稳定性条件导出的问题？
• RQ5 $Θ$-分层与模理论中旗空间及退化扇形的几何之间有何关系？

主要发现

• 代数堆上的数值不变量当且仅当满足 HN 有界性条件时，可诱导出 $Θ$-分层，为这类分层的存在性提供了必要且充分的判据。
• 在 $Θ$-分层堆中，半稳定子集 admits 良好模空间，将 Keel-Mori 与 Alper 的结果推广至非紧与非分离情形。
• 滤子对象堆 $Θ$-收缩至分次对象堆，且该收缩与 $Θ$-分层结构相容。
• 退化空间 $ΔΕg(\mathcal{X},p)$ 被证明为广义球面建筑物，为滤子的组合结构提供了几何实现。
• 对于 $G$ 可分解的全局商堆 $X/G$，$Θ$-分层等价于商堆的并集 $\bigsqcup_{\lambda} \mathrm{pt}/P_{\lambda}$，其中 $\lambda$ 遍历一参数子群的共轭类。
• 该理论适用于心为 Bridgeland 稳定性条件的对象的模问题，提供了经典方法失效时的 $Θ$-分层。