[论文解读] On the structure of α-limit sets of backward trajectories for graph maps

Magdalena Foryś-Krawiec, Jana Hantáková+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文研究图映射中反向轨迹的α极限集结构，证明在混合映射下，所有α极限集均为ω极限集；对任意点，每个ω极限集均可通过某个反向分支实现为α极限集。在零熵映射中，α极限集恰好为极小集；在正熵映射中，它们主要为ω极限集，最多含可数个孤立点，但某些情况下的完整刻画仍待解决。

ABSTRACT

<p>In the paper we study what sets can be obtained as <em>α</em>-limit sets of backward trajectories in graph maps. We show that in the case of mixing maps, all those <em>α</em>-limit sets are <em>ω</em>-limit sets and for all but finitely many points <em>x</em>, we can obtain every <em>ω</em>-limits set as the <em>α</em>-limit set of a backward trajectory starting in <em>x</em>. For zero entropy maps, every <em>α</em>-limit set of a backward trajectory is a minimal set. In the case of maps with positive entropy, we obtain a partial characterization which is very close to complete picture of the possible situations.</p>

研究动机与目标

• 确定在图映射中哪些集合可作为反向轨迹的α极限集。
• 阐明在不同动力系统条件下，α极限集与ω极限集之间的关系。
• 在图映射的混合、零熵和正熵条件下，对α极限集进行刻画。
• 研究每个ω极限集是否都能通过某个反向分支实现为α极限集。
• 探讨基本集的作用以及正熵系统中α极限集的结构。

提出的方法

• 分析图映射 f: G → G 中的反向分支 {x_j}_{j≤0}，重点关注其极限点作为α极限集。
• 利用几乎共轭性将混合图映射 g: Y → Y 的动力性质传递到 f。
• 应用Blokh的分解定理，将最大ω极限集分类为基本型、Solenoidal型、环形型和周期型。
• 使用Hausdorff度量收敛性，将ω极限集构造为周期轨道的极限。
• 通过原像集的结构和等价关系 ∼ 分析α极限集中孤立点的性质。
• 证明在混合映射中，通过从任意可达点出发的反向分支，每个ω极限集均可实现为α极限集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合图映射中，每个ω极限集是否都能作为某个反向轨迹的α极限集实现？
• RQ2 在零熵图映射中，所有反向分支的α极限集是否都是极小集？
• RQ3 在正熵图映射中，是否每个包含在基本集中的ω极限集都能作为某个反向分支的α极限集实现？
• RQ4 在正熵映射中，α极限集的结构，特别是孤立点的性质如何？
• RQ5 反向分支的α极限集中孤立点集合 R 是否必然为空，还是可以非平凡？

主要发现

• 在拓扑混合图映射中，从任意可达点出发的反向分支，每个ω极限集均可实现为α极限集。
• 在零熵图映射中，反向分支的每个α极限集都是极小集，且此类α极限集的全体恰好与极小集的全体一致。
• 在正熵映射中，反向分支的α极限集主要为ω极限集，最多含可数个孤立点；此类孤立点集合 R 可能非空，但其是否为空尚不明确。
• 在正熵映射的基本集中，对所有至多可数个点 x 以外的所有点，每个包含在 D 中的无限ω极限集 ω(y) 均可通过从 x 出发的反向分支实现为α极限集，至多忽略一个可数个孤立点。
• 基本集内反向分支的α极限集包含于某点 y 的ω极限集中，当α极限集中的孤立点集合为稠密时，等式成立。
• 本文表明，当映射为混合或零熵时，图映射中的α极限集总是ω极限集，但正熵映射的一般情况仍部分未解，原因在于反向轨迹构造中控制能力的限制。