[论文解读] On the structure of optimal sets for tensor product channel

M. E. Shirokov|ArXiv.org|Feb 24, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究张量积量子通道最优集合的结构性质，聚焦最小输出熵与Holevo容量之间的相互作用。通过凸对偶与共轭函数，本文建立了张量积通道最优集合表现出继承性与投影结构的条件，表明纠缠最优态受单个通道最优纯态的凸组合所约束——为可加性猜想提供了关键的结构性洞见。

ABSTRACT

For a given quantum channel we consider two optimal sets of states, related to the Holevo capacity and to the minimal output entropy of this channel. Some properties of these sets as well as the necessary and sufficient condition for their coincidence are obtained. The relations between additivity properties for two quantum channels and the structure of the optimal sets for tensor product of these channels are considered. It turns out that these additivity properties are connected with the special hereditary property of the optimal sets for tensor product channel. We explore the structural properties of these optimal sets under two different assumptions. The first assumption means that for tensor product of two channels with arbitrary constraints there exists optimal ensemble with the product state average. It turns out that exactly this assumption guarantees hereditary property of the both optimal sets for tensor product channel and provides some observations concerning the additivity problems. The second assumption means additivity of the Holevo capacity for two channels with arbitrary constraints. It turns out that exactly this assumption guarantees strong hereditary property of the both optimal sets for tensor product channel and provides the natural "projective" relations between these sets and the optimal sets for single channels.

研究动机与目标

• 表征张量积量子通道最优集合的结构，与最小输出熵和Holevo容量相关联。
• 研究张量积通道最优集合从单个通道继承性质的条件。
• 阐明最小输出熵可加性与Holevo容量可加性同最优集合继承结构之间的关系。
• 确定在何种结构性约束下，纠缠态可成为张量积通道的最优态。

提出的方法

• 本文采用凸对偶与共轭函数，将最小输出熵与Holevo容量表示为输出熵共轭函数的形式。
• 将最小输出熵与Holevo容量的最优集合定义为实现各自极值的态的集合。
• 引入“继承性”概念，描述张量积通道最优集合中包含与单个通道乘积结构一致的态的情形。
• 本文分析两个假设：(1) 约束张量积通道存在乘积态最优集合，(2) Holevo容量可加性，表明后者蕴含更强的结构性约束。
• 利用第4节定理表明，继承性将最优集合的极值点限制为纯乘积态。
• 在可加性更强的假设下，推导出张量积与单个通道最优集合之间的投影关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个量子通道张量积的最优集合会继承单个通道的结构性质？
• RQ2 最小输出熵可加性与张量积通道最优集合继承结构之间存在何种关系？
• RQ3 若纠缠态的局部迹不能表示为单个通道最优纯态的凸组合，则该纠缠态能否成为张量积通道的最优态？
• RQ4 Holevo容量可加性假设如何影响张量积通道最优集合的结构？
• RQ5 继承性对张量积通道中纠缠最优态的存在施加了何种约束？

主要发现

• 张量积通道最优集合的继承性等价于在任意约束下存在乘积态最优集合。
• 若两个通道的Holevo容量可加，则最小输出熵与Holevo容量均具有可加性，且张量积通道的最优集合表现出强继承性。
• 张量积与单个通道最优集合之间的投影关系意味着投影集合的所有极值点均为单个通道最优集合中的纯乘积态。
• 任何张量积通道的纠缠最优态，其局部迹必须是单个通道最优纯态的凸组合。
• 若其中一个通道具有唯一最优态，则张量积通道的所有最优态必为乘积态，从而排除纠缠最优态的存在。
• 若存在一个纠缠最优态，其局部迹无法分解为单个通道最优态的组合，则将否定全局可加性猜想。