[论文解读] On the structure of separable $\mathcal{L}_\infty$-spaces

Spiros A. Argyros, I. Gasparis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了每个无限维可分 $\mathcal{L}_\infty$-空间都同构于一个布加因-德尔贝安空间，即通过在可数个有限集的并集上定义相容的扩展算子所构造的一类巴拿赫空间。关键贡献在于构造了一个具有可分对偶的反射性渐近 $c_0$ $\mathcal{L}_\infty$-空间，其对偶同构于 $\ell_1$，但不包含 $c_0$ 的子空间，从而解决了关于渐近 $c_0$ $\mathcal{L}_\infty$-空间中 $c_0$ 的非包含性问题。

ABSTRACT

Based on a construction method introduced by J. Bourgain and F. Delbaen, we give a general definition of a Bourgain-Delbaen space and prove that every infinite dimensional separable $\mathcal{L}_\infty$-space is isomorphic to such a space. Furthermore, we provide an example of a $\mathcal{L}_\infty$ and asymptotic $c_0$ space not containing $c_0$.

研究动机与目标

• 将布加因-德尔贝安构造方法推广，以定义一类现在被称为布加因-德尔贝安空间的巴拿赫空间。
• 证明每个无限维可分 $\mathcal{L}_\infty$-空间都同构于此类空间。
• 构造一个渐近 $c_0$ $\mathcal{L}_\infty$-空间的例子，其不包含 $c_0$ 的子空间，从而回应了 B. 萨里的问题。
• 证明在 $\mathcal{L}_\infty$ 和渐近 $c_0$ 意义下对 $c_0$ 的局部接近性，并不意味着存在无限维的 $c_0$ 子空间。

提出的方法

• 通过严格递增的有限集序列 $(\Gamma_q)$、可数并集 $\Gamma = \bigcup_q \Gamma_q$ 以及具有一致有界算子范数的相容扩展算子 $i_q: \ell_\infty(\Gamma_q) \to \ell_\infty(\Gamma)$ 来定义一个布加因-德尔贝安空间。
• 将空间 $\mathfrak{X}_0$ 构造为有限维子空间 $Y_n$ 的并集的闭包，其中每个 $Y_n$ 由来自扩展算子的向量 $d_{\gamma_i}$ 张成。
• 利用 Scauder 基 $(d_{\gamma_i})_i$ 和 FDD $(M_q)$ 分析块序列，以建立渐近 $c_0$ 结构。
• 通过涉及泛函 $e_\gamma^*$ 和受限投影 $P_E$ 的估计，控制块和的范数，依赖于参数 $n_r$ 以及 $N, \theta$ 的增长条件。
• 利用命题 2.17 及基的块性质，证明基是压缩的，并且对偶同构于 $\ell_1$。
• 利用 $n_r$ 的增长性以及不等式 $\|\sum u_i\| \leq K_{N,\theta}$，证明任何跳过块序列都不可能与 $c_0$ 基等价，从而推出不存在 $c_0$ 子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可分的无限维 $\mathcal{L}_\infty$-空间是否都同构于通过相容扩展算子在可数个有限集的并集上构造的布加因-德尔贝安空间？
• RQ2 能否构造一个渐近 $c_0$ $\mathcal{L}_\infty$-空间，使其不包含 $c_0$ 的子空间？
• RQ3 结合 $\mathcal{L}_\infty$-结构与渐近 $c_0$-结构是否意味着存在 $c_0$ 作为子空间？
• RQ4 所构造的 $\mathcal{L}_\infty$-空间 $\mathfrak{X}_0$ 的 Szlenk 指数是多少？它是否意味着存在 $\ell_1$ 拓展模型？

主要发现

• 每个无限维可分 $\mathcal{L}_\infty$-空间都同构于在可数个有限集的并集上通过相容扩展算子定义的布加因-德尔贝安空间。
• 所构造的空间 $\mathfrak{X}_0$ 是一个反射性渐近 $c_0$ $\mathcal{L}_\infty$-空间，具有压缩的 Scauder 基 $(d_{\gamma_i})_i$。
• 空间 $\mathfrak{X}_0$ 的对偶同构于 $\ell_1$，因此它是一个同构于 $\ell_1$ 的预对偶空间。
• 该空间不包含同构于 $c_0$ 的子空间，这是通过跳过块序列上泛函取值的统一衰减性所证明的。
• 在给定的支集和范数条件下，任何块和 $\|\sum_{i=1}^m u_i\|$ 的范数都统一有界于 $K_{N,\theta} = (2N^3 + 4\theta N^2 - 4\theta N)/(N^2 - 3\theta N + 2\theta^2)$，且该界与 $m$ 无关。
• $\mathfrak{X}_0$ 的 Szlenk 指数为 $\omega$，其不存在 $\ell_1$ 拓展模型，从而确认了不存在 $c_0$ 子空间。