[论文解读] On the structure of the energy-momentum and the spin currents in Dirac's electron theory

Friedrich W. Hehl, Alfredo Macı́as+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 1997

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用 4

一句话总结

本文在平坦的闵可夫斯基时空背景下，对狄拉克电子理论中的规范能量-动量与自旋流进行戈登分解，将其分别分解为输运部分与极化部分。极化部分被证明源自与平移群和洛伦兹群相关的引力偶极矩所对应的微分形式的外协变导数，其中在非相对论极限下，平移偶极矩与电子自旋共向量成正比。

ABSTRACT

We consider a classical Dirac field in flat Minkowski spacetime. We perform a Gordon decomposition of its canonical energy-momentum and spin currents, respectively. Thereby we find for each of these currents a convective and a polarization piece. The polarization pieces can be expressed as exterior covariant derivatives of the two-forms $\\check M_\\alpha$ and $M_{\\alpha\\beta}=-M_{\\beta\\alpha}$, respectively. In analogy to the magnetic moment in electrodynamics, we identify these two-forms as gravitational moments connected with the translation group and the Lorentz group, respectively. We point out the relation between the Gordon decomposition of the energy-momentum current and its Belinfante-Rosenfeld symmetrization. In the non-relativistic limit, the translational gravitational moment of the Dirac field is found to be proportional to the spin covector of the electron.

研究动机与目标

• 将狄拉克场的规范能量-动量与自旋流分解为物理上可解释的分量。
• 利用微分几何结构，识别这些流中极化贡献的起源。
• 将极化项解释为与平移群和洛伦兹群相关的引力偶极矩。
• 阐明戈登分解与贝尔林丹-罗森菲尔德对称化程序之间的关系。
• 研究非相对论极限，并探讨其与电子自旋共向量的关联。

提出的方法

• 在闵可夫斯基时空中的狄拉克场规范能量-动量流上应用戈登分解。
• 对狄拉克场的自旋流张量执行类似的分解。
• 将两个流的极化部分表示为反称二形式 $\check{M}_\alpha$ 和 $M_{\alpha\beta}$ 的外协变导数。
• 将 $\check{M}_\alpha$ 识别为与平移群相关的引力偶极矩，将 $M_{\alpha\beta}$ 识别为与洛伦兹群相关的引力偶极矩。
• 通过流分量的结构，将该分解与贝尔林丹-罗森菲尔德对称化联系起来。
• 取非相对论极限，以分析平移引力偶极矩的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄拉克场的规范能量-动量流如何被分解为物理上有意义的分量？
• RQ2 能量-动量流的极化部分具有怎样的几何与物理解释？
• RQ3 二形式 $\check{M}_\alpha$ 与 $M_{\alpha\beta}$ 如何与平移群和洛伦兹群背景下的引力偶极矩相关联？
• RQ4 戈登分解与能量-动量张量的贝尔林丹-罗森菲尔德对称化之间存在何种联系？
• RQ5 在非相对论极限下，平移引力偶极矩的行为如何？其与电子自旋的关系为何？

主要发现

• 狄拉克场的能量-动量流可分解为输运部分与极化部分，后者可表示为二形式 $\check{M}_\alpha$ 的外协变导数。
• 自旋流同样分解为输运与极化分量，其中极化项源自反称二形式 $M_{\alpha\beta}$ 的外导数。
• $\check{M}_\alpha$ 被识别为与平移群相关的引力偶极矩，其类比于电动力学中的磁偶极矩。
• $M_{\alpha\beta}$ 对应于与洛伦兹群相关的引力偶极矩，反映了局域旋转对称性。
• 两个流的极化部分在几何与物理上均与输运贡献明显不同。
• 在非相对论极限下，平移引力偶极矩 $\check{M}_\alpha$ 被发现与电子自旋共向量成正比，从而建立了自旋与引力偶极矩之间的直接联系。