[论文解读] On the Structure of the Weil Restriction of Abelian Varieties

Claus Diem, Niko Naumann|ArXiv.org|Apr 18, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文对有限伽罗瓦扩张上阿贝尔簇的韦伊限制的自同态环和同源分解提供了完整的描述。对于次数为 $ n $ 的循环扩张 $ K|k $，阿贝尔簇 $ A_K $ 的韦伊限制 $ W $ 分解为同构类分量 $ W_d $，其中 $ d $ 取遍 $ n $ 的因数，且 $ W_d $ 为单个的充分必要条件是 $ \mathbb{Q} \cap \operatorname{End}^\circ(A)\otimes\mathbb{Q}(\zeta_d) = \mathbb{Q} $，这推广了具有复乘法的椭圆曲线的行为。

ABSTRACT

We give a description of endomorphism rings of Weil restrictions of abelian varieties with respect to finite Galois extensions. The results are applied to study the isogeny decomposition of Weil restrictions.

研究动机与目标

• 确定有限伽罗瓦扩张下阿贝尔簇韦伊限制的自同态环结构。
• 研究韦伊限制的同源分解，特别是有限域与循环扩张的情形。
• 提供韦伊限制为单个或分解为单个因子的显式判别条件。
• 将已知的关于具有复乘法的椭圆曲线的结果推广至高维阿贝尔簇。

提出的方法

• 使用斜群环描述韦伊限制 $ W $ 的自同态环，作为 $ \operatorname{End}(A_K) $ 上关于反伽罗瓦群 $ G^\text{opp} $ 的交叉积。
• 应用表示论与通过分圆多项式 $ \Phi_d $ 在 $ \operatorname{End}^\circ(A) $ 上的幂等元分解。
• 通过投影算子 $ \Psi_d^{(i)} \Phi_d^{(i)'} $ 构造子簇 $ W_d^{(i)} $，其中 $ \Phi_d^{(i)} $ 是 $ \Phi_d $ 在 $ \operatorname{End}^\circ(A) $ 上的不可约因子。
• 利用典范同构 $ \sigma_{K|k}: \sigma^{-1}(A_K) \to A_K $ 定义韦伊限制上的弗罗贝尼乌斯与伽罗瓦作用。
• 利用事实 $ \operatorname{End}^\circ(W) \simeq \operatorname{End}^\circ(A_K)[G] $，在所有 $ A_K $ 的自同态均定义在 $ k $ 上的假设下。
• 归约至分圆多项式与数域交集的情形，以判断分量的简单性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限伽罗瓦扩张上阿贝尔簇的韦伊限制在基域上是单个的？
• RQ2 韦伊限制的自同态环如何与伽罗瓦群及原阿贝尔簇的自同态环相关？
• RQ3 当基扩张为循环扩张时，韦伊限制的同源分解是怎样的？
• RQ4 韦伊限制的分量 $ W_d $ 何时保持简单，何时分解为非同源的单个因子？
• RQ5 椭圆曲线上复乘法如何影响其在循环扩张上韦伊限制的同源分解？

主要发现

• 若 $ A_K $ 的所有自同态均定义在 $ k $ 上，则阿贝尔簇 $ A_K $ 沿 $ K|k $ 的韦伊限制 $ W $ 的自同态代数同构于 $ \operatorname{End}^\circ(A_K)[G] $，即 $ \operatorname{End}^\circ(A_K) $ 上关于反伽罗瓦群 $ G^\text{opp} $ 的斜群环。
• 对于次数为 $ n $ 的循环扩张 $ K|k $，韦伊限制 $ W $ 按因数 $ d \mid n $ 分解为同源分量 $ W_d $，且满足 $ (W_d)_K \approx A_K^{\varphi(d)} $。
• 每个分量 $ W_d $ 为单个的充分必要条件是 $ \operatorname{End}^\circ(A) \cap \mathbb{Q}(\zeta_d) = \mathbb{Q} $，即自同态域与 $ d $ 次分圆域的交集为平凡。
• 若 $ A $ 是基域 $ k $ 上具有复乘法的普通椭圆曲线，则 $ W_d $ 不是单个的当且仅当 $ \operatorname{End}^\circ(A) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_d) $，此时 $ W_d $ 分解为两个非同源的单个因子，每个维度为 $ \varphi(d)/2 $。
• 特别地，若 $ n $ 为素数且 $ n \equiv 1 \pmod{4} $，或 $ n \equiv 3 \pmod{4} $ 且 $ \sqrt{-n} \notin \operatorname{End}^\circ(E) $，则 $ W \sim E \times N $，其中 $ N $ 为单个。
• 同构类分量 $ W_d^{(i)} $ 作为幂等算子 $ E_d^{(i)} = \Psi_d^{(i)} \Phi_d^{(i)'} $ 的像构造，且它们是具有自同态代数同构于 $ \operatorname{End}^\circ(A)[X]/\Phi_d^{(i)} $ 的单个阿贝尔 $ k $-簇。