[论文解读] On the Structure of Trans-Series in Quantum Field Theory

Marcos Mariño, Ramon Miravitllas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2023

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 4

一句话总结

本文研究了量子场论中形式级数的收敛性，重点关注可积的、渐近自由的二维QFT的自由能。数值证据表明，各阶耦合常数下指数小修正的截断级数收敛，暗示完整的Borel-重整化形式级数定义了一个无额外发散的良态函数，与一般相关函数中此类收敛性失败的情况形成对比。

ABSTRACT

Many observables in quantum field theory can be expressed in terms of trans-series, in which one adds to the perturbative series a typically infinite sum of exponentially small corrections, due to instantons or to renormalons. Even after Borel resummation of the series in the coupling constant, one has to sum this infinite series of small exponential corrections. It has been argued that this leads to a new divergence, which is sometimes called the divergence of the OPE. We show that, in some interesting examples in quantum field theory, the series of small exponential corrections is convergent, order by order in the coupling constant. In particular, we give numerical evidence for this convergence property in the case of the free energy of integrable asymptotically free theories, which has been intensively studied recently in the framework of resurgence. Our results indicate that, in these examples, the Borel resummed trans-series leads to a well defined function, and there are no further divergences.

研究动机与目标

• 评估量子场论可观测量形式级数展开中，指数小修正的无穷级数是否收敛。
• 使用数值与解析方法检验固定耦合阶数下、在指数修正中展开的部分级数的收敛性。
• 研究可积的、渐近自由的二维QFT的自由能是否表现出收敛的部分级数，表明其重整化形式级数是良好定义的。
• 将此行为与一般相关函数进行对比，后者中此类收敛性不成立，导致所谓的“OPE发散”。
• 提供证据表明，可积模型的自由能可能具有比典型可观测量更简单的解析结构，支持其作为重整化理论检验平台的作用。

提出的方法

• 将QFT中的形式级数定义为微扰级数与指数小非微扰修正之和，包含两个展开参数：耦合常数g和e^(-A/g)。
• 引入“部分级数”的概念——在固定g阶数下，对e^(-A/g)展开的级数，其收敛性被用作整个形式级数收敛性的代理指标。
• 对大N sigma模型和复CFT理论应用数值分析，以检验简单可解模型中部分级数的收敛性。
• 通过高阶数值计算（e^(-2/ᾱ)展开超过15阶）将形式级数展开与可积二维QFT中的精确结果进行比较。
• 利用近期文献中的精确结果（例如bbv2）来验证并扩展可积模型中收敛性的数值证据。
• 分析自由能的解析结构，特别是其奇点，以理解收敛部分级数的含义。

Figure 1: The sequences ( 3.24 ) for $n=1$ (left) and $n=6$ (right), represented by black dots, together with their Richardson transforms of order $3$ , represented by red dots.

实验结果

研究问题

• RQ1 在真实的量子场论中，各阶耦合常数下指数小修正的展开（即部分级数）是否收敛？
• RQ2 可积二维QFT自由能中部分级数的收敛性，是否意味着其Borel-重整化形式级数是良好定义且无发散的？
• RQ3 可积模型中自由能的解析结构与一般相关函数（如Adler函数）相比有何不同？
• RQ4 部分级数的收敛性在确保重整化理论在微扰论之外的有效性方面起什么作用？
• RQ5 可积模型的自由能能否作为具有更好重整化性质的更广泛QFT可观测量类别的原型？

主要发现

• 数值证据确认，在可积的、渐近自由的二维QFT自由能中，部分级数在高阶（高达e^(-2/ᾱ)的15阶及更高）下收敛。
• 大N sigma模型和复CFT理论中部分级数的收敛性支持了该收敛性在非平凡QFT中可能成立的一般假设。
• 可积模型中自由能的奇点结构似乎更简单——可能仅在h = m处存在一个奇点，与部分级数的收敛性一致。
• 非微扰区段求和无发散，表明该可观测量的Borel-重整化形式级数是良好定义且有限的。
• 此行为与一般相关函数（如Adler函数）形成鲜明对比，后者中非微扰修正的求和是阶乘发散的，导致所谓的“OPE发散”。
• 结果表明，可积模型中的自由能是重整化中极为有利的可观测量，可能因其解析复杂性较低而具有更优的性质。

Figure 2: The singularity structure of the large $N$ two point function is shown on the left, in the $p^{2}/m^{2}$ plane. There is a single branch cut singularity at $-9$ , as it follows from ( 3.23 ). At finite $N$ , it has been argued in beneke-braun that there will be many singularities along the