[论文解读] On the study of stochastic fractional-order differential equation systems

Guang‐an Zou, Bo Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文通过使用Caputo分数阶导数、非Lipschitz连续非线性项和Picard迭代，建立了随机分数阶微分方程系统解的存在性与唯一性。主要贡献在于提出了一套理论框架，并通过改进的Adams预测-校正格式对随机分数阶Newton-Leipnik和Lorenz系统进行数值模拟，验证了在不同分数阶下系统表现出混沌行为和随机吸引子。

ABSTRACT

In this article, the existence and uniqueness about the solution for a class of stochastic fractional-order differential equation systems are investigated, where the fractional derivative is described in Caputo sense. The fractional calculus, stochastic analysis techniques and the standard Picard's iteration are used to obtain the required results, the nonlinear term is satisfied with some non-Lipschitz conditions (where the classical Lipschitz conditions are special cases). The stochastic fractional-order Newton-Leipnik and Lorenz systems are provided to illustrate the obtained theory, and numerical simulation results are also given by the modified Adams predictor-corrector scheme.

研究动机与目标

• 建立一类具有Caputo导数的随机分数阶微分方程系统解的存在性与唯一性。
• 通过将标准Lipschitz条件放宽为更一般的非Lipschitz条件，扩展经典的存在性与唯一性结果。
• 通过随机分数阶混沌系统的数值模拟，验证理论框架的有效性。
• 验证改进的Adams预测-校正格式在数值求解此类系统时的有效性。
• 分析分数阶α和随机噪声对Newton-Leipnik与Lorenz系统混沌动力学的影响。

提出的方法

• 采用Caputo型分数阶导数来刻画随机动力系统中的记忆效应。
• 应用随机分析技术与Itô等距性，处理由维纳过程驱动的系统噪声。
• 采用Picard迭代法，在非线性项满足非Lipschitz条件的前提下证明解的存在性与唯一性。
• 推导出非线性函数F(x)与σ(x)的有界性，以满足所需的生长与连续性条件。
• 实现改进的Adams预测-校正格式，用于随机分数阶系统的数值求解。
• 构建具有状态相关噪声σ(x) = μx²的随机分数阶Lorenz与Newton-Leipnik系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有Caputo导数的随机分数阶微分方程系统在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 非Lipschitz连续非线性项如何影响此类系统中解的存在性与唯一性？
• RQ3 改进的Adams预测-校正格式能否准确模拟随机分数阶系统中的混沌行为？
• RQ4 分数阶α如何影响Lorenz与Newton-Leipnik系统中随机吸引子的稳定性与结构？
• RQ5 状态相关随机噪声在塑造分数阶系统混沌动力学中起何种作用？

主要发现

• 成功建立了具有状态相关噪声σ(x) = μx²的随机分数阶Newton-Leipnik与Lorenz系统。
• 两个系统中的非线性项均满足非Lipschitz条件，其中增长界K₂ = ‖A‖² + (‖B‖² + 3μ)(2‖x₀‖² + δ)被显式推导。
• 当h = 0.005时的数值模拟结果证实，当α = 0.88和α = 0.99时，系统表现出混沌行为与随机吸引子。
• 在x-y-z空间及投影平面上的相图显示了混沌共振与随机效应的出现。
• 随着分数阶α趋近于1.0，随机吸引子变得更加稳定，表明系统趋近于经典整数阶系统。
• 改进的Adams预测-校正格式在模拟这些随机分数阶系统动力学方面被证明是可行且有效的。