[论文解读] On the Successive Cancellation Decoding of Polar Codes with Arbitrary Linear Binary Kernels

Zhiliang Huang, Shiyi Zhang+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Error Correcting Code Techniques参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文提出一种基于任意线性二元核的极化码低复杂度连续取消（SC）译码方法，通过引入两种新型表达框架：$l$-表达式和$W$-表达式。$W$-表达式方法将译码复杂度从$O(2^m N \log N)$降低至$O(m^2 N \log N)$（当$m \leq 16$时），实现了对$16\times16$等高维核的高效SC译码，其误码性能优于传统的$2\times2$核码。

ABSTRACT

A method for efficiently successive cancellation (SC) decoding of polar codes with high-dimensional linear binary kernels (HDLBK) is presented and analyzed. We devise a $l$-expressions method which can obtain simplified recursive formulas of SC decoder in likelihood ratio form for arbitrary linear binary kernels to reduce the complexity of corresponding SC decoder. By considering the bit-channel transition probabilities $W_{G}^{(\cdot)}(\cdot|0)$ and $W_{G}^{(\cdot)}(\cdot|1)$ separately, a $W$-expressions method is proposed to further reduce the complexity of HDLBK based SC decoder. For a $m imes m$ binary kernel, the complexity of straightforward SC decoder is $O(2^{m}N\log N)$. With $W$-expressions, we reduce the complexity of straightforward SC decoder to $O(m^{2}N\log N)$ when $m\leq 16$. Simulation results show that $16 imes16$ kernel polar codes offer significant advantages in terms of error performances compared with $2 imes2$ kernel polar codes under SC and list SC decoders.

研究动机与目标

• 为解决高维线性二元核（HDLBK）极化码SC译码的高计算复杂度问题，其复杂度为$O(2^m N \log N)$，当$m \geq 16$时变得不切实际。
• 开发一种通用且高效的译码框架，适用于任意线性二元核，不限于小尺寸或特定结构的核。
• 在保持或提升误码性能的前提下降低译码复杂度，尤其针对极化指数较高的核。
• 通过递归表达式简化似然比计算，实现高维核极化码的实际可实现性。

提出的方法

• 引入$l$-表达式，通过$\diamond$运算递归表达SC译码器中的似然比：$l_1 \diamond l_2 = \frac{l_1 l_2 + 1}{l_1 + l_2}$，实现对任意线性核的高效计算。
• 提出$W$-表达式，通过分别分析比特通道转移概率$W_G^{(i)}(\cdot|0)$和$W_G^{(i)}(\cdot|1)$，进一步简化递归表达式。
• 通过识别并重用$W$-表达式中的重复子表达式，实施内部表达式简化，显著减少表达式长度和计算负载。
• 使用算法2生成至$m=16$的最优核的$W$-表达式，其中$C_W(m)$量化平均表达式长度，并指导复杂度分析。
• 采用蒙特卡洛方法与高斯近似（GA-DE）方法进行码构造，结果表明蒙特卡洛方法在大核情况下更准确。
• 复杂度分析为$O(C_W(m) \cdot m N \log_m N)$，表明当$m \leq 16$时，其简化为$O(m^2 N \log N)$，相比朴素的$O(2^m N \log N)$方法有显著改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将$l$-表达式推广至任意线性二元核，以降低SC译码复杂度？
• RQ2 通过分离$W(\cdot|0)$和$W(\cdot|1)$转移概率，$W$-表达式能否进一步简化似然比递归？
• RQ3 与朴素SC译码器相比，$W$-表达式在高维核上能实现多大程度的复杂度降低？
• RQ4 在SC和列表SC译码下，高维核极化码（$m=16$）与传统$2\times2$核码的误码性能如何比较？
• RQ5 随着核尺寸$m$增大，高斯近似方法在码构造中是否仍保持准确性？

主要发现

• $W$-表达式方法将基于HDLBK的极化码译码复杂度从$O(2^m N \log N)$降低至$O(m^2 N \log N)$（当$m \leq 16$时），使高维核成为实际可行。
• 当$m=16$时，$W$-表达式方法的复杂度为$O(6.7 \cdot m N \log_m N)$，且$C_W(16) = 6.7$，表明表达式长度显著缩短。
• 仿真结果表明，$16\times16$核极化码在SC和列表SC译码下均优于$2\times2$核码，即使在更短的码长下也表现出更低的帧误码率。
• $G_{16}^\otimes 3$码相比$G_2^\otimes 12$码实现了显著的性能增益，证明了高维核在更大极化指数下的优势。
• 蒙特卡洛码构造方法的准确性与Tal-Vardy方法相当，而GA-DE方法在大核（如$m=16$）时变得不准确。
• $W$-表达式中的内部表达式简化通过重用公共子表达式，减少了冗余计算，尤其在大核情况下效果显著。