[论文解读] On the sum between a closable operator $T$ and a $T$-bounded operator

Dan Popovici, Zoltán Sebestyén+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过引入基于形如 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ 的 2×2 矩阵算子的性质的新型框架，发展了希尔伯特空间上有界闭无界算子的摄动理论。主要贡献是一个广义摄动定理，表明若 $T$ 是闭算子，$S$ 是 $T$-有界算子，且满足特定的值域和对偶性条件，则 $T + S$ 是闭算子，且其共轭算子等于 $T^* + R$，其中 $R$ 为适当选取的算子，该结果在较弱假设下推广了赫斯–卡托、卡托–雷利希和伍斯特的经典结果。

ABSTRACT

We provide several perturbation theorems regarding closable operators on a real or complex Hilbert space. In particular we extend some classical results due to Hess--Kato, Kato--Rellich and Wüst. Our approach involves ranges of matrix operators of the form $\left(\begin{array}{cc}\!\! I & A\!\!\\ \!\! -B& I\!\!\end{array} ight)$.

研究动机与目标

• 通过弱化标准的 $T$-有界性条件，推广无界算子的经典摄动定理。
• 建立 $T$ 为闭算子且 $S$ 为 $T$-有界算子时，$T + S$ 仍为闭算子的充分条件。
• 通过涉及 $I$、$T$、$S$ 及其共轭算子的矩阵算子值域，刻画 $T + S$ 的共轭算子。
• 在统一框架下，利用算子矩阵值域，统一并推广赫斯–卡托、卡托–雷利希和伍斯特的结果。
• 提供条件，使得在弱于以往已知假设下，$T + S$ 为本质自伴或自伴算子。

提出的方法

• 将矩阵算子 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ 的值域作为刻画定义域和共轭性质的核心分析工具。
• 应用一个对偶引理（引理 2.1），从值域和对偶性条件推导出定义域稠密及共轭关系。
• 证明：若矩阵算子 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ 的值域稠密或闭，且满足对偶性条件，则 $A$ 与 $B$ 互为共轭算子。
• 引入一个关键技术条件：对所有 $x \in \operatorname{dom}T$，有 $\|Sx\|^2 \leq \|Tx\|^2 + \|x\|^2$，该条件推广了 $T$-有界性。
• 利用矩阵算子框架，推导出 $T + S$ 为闭算子且 $ (T + S)^* = T^* + R $ 成立的条件，其中 $R$ 为特定算子。
• 将该理论应用于对称、自伴及本质自伴算子，推导出经典摄动定理的广义版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，闭算子 $T$ 与 $T$-有界算子 $S$ 的和 $T + S$ 本身也是闭算子？
• RQ2 当 $T$ 为闭算子且 $S$ 为 $T$-有界算子时，如何刻画 $T + S$ 的共轭算子？
• RQ3 能否利用矩阵算子 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ 的值域，将赫斯–卡托、卡托–雷利希和伍斯特的经典摄动定理推广至更宽松的假设？
• RQ4 矩阵算子 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ 的值域在确保 $T + S$ 的闭性及共轭结构中起什么作用？
• RQ5 当 $T$ 为本质自伴或自伴算子时，在何种条件下 $T + S$ 为本质自伴或自伴算子？

主要发现

• 若 $T$ 为闭算子，$S$ 为 $T$-有界算子，且对所有 $x \in \operatorname{dom}T$ 满足 $\|Sx\|^2 \leq \|Tx\|^2 + \|x\|^2$，且矩阵算子 $\begin{pmatrix} I & T^* \\ -T & I \end{pmatrix}$ 的值域稠密，则 $T + S$ 为闭算子，且存在特定 $R$ 使得 $ (T + S)^* = T^* + R $。
• 该摄动定理推广了赫斯–卡托结果：若 $\|Sx\|^2 \leq \|Tx\|^2 + \|x\|^2$ 且 $\|S^*k\|^2 \leq q\|T^*k\|^2 + \|k\|^2$ 成立，其中 $q < 1$，则 $T + S$ 为闭算子，且 $ (T + S)^* = T^* + S^* $。
• 若 $S$ 为本质自伴算子，且 $\operatorname{dom}S \subseteq \operatorname{dom}T$，满足 $\|Th\|^2 \leq \|Sh\|^2 + \|h\|^2$，且 $T$ 在 $\operatorname{dom}S$ 上对称，则 $S + T$ 为本质自伴算子。
• 若 $S$ 为自伴算子，且对所有 $h \in \operatorname{dom}S$ 满足 $\|Th\|^2 \leq q\|Sh\|^2 + \|h\|^2$，其中 $q < 1$，且 $T$ 在 $\operatorname{dom}S$ 上对称，则 $S + T$ 为自伴算子。
• 若 $R$ 为 $B^*$-有界算子且 $B^*$-范数小于 1，则 $B^* + R$ 的闭性得以保证，从而确保摄动结果的有效性。
• 若 $\operatorname{ran}\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix} = \mathscr{H}_4 \times \mathscr{H}_3$，在满足对偶性和定义域相容性条件下，可推出 $D^* = A$ 且 $C^* = B$。