[论文解读] On the sum-of-squares degree of symmetric quadratic functions

Troy Lee, Anupam Prakash+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文为在布尔超立方体上对形如 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ 的对称二次函数，建立了在 $\ell_\infty$ 和 $\ell_1$-范数下近似所需的平方和（SOS）次数的紧致界。证明了 $f_k$ 的 $\ell_1$-近似 SOS 次数为 $\Theta(\sqrt{k(n-k)})$，并利用此结果解决了证明复杂性与量子查询复杂性领域的开放问题。

ABSTRACT

We study how well functions over the boolean hypercube of the form $f_k(x)=(|x|-k)(|x|-k-1)$ can be approximated by sums of squares of low-degree polynomials, obtaining good bounds for the case of approximation in $\ell_{\infty}$-norm as well as in $\ell_1$-norm. We describe three complexity-theoretic applications: (1) a proof that the recent breakthrough lower bound of Lee, Raghavendra, and Steurer on the positive semidefinite extension complexity of the correlation and TSP polytopes cannot be improved further by showing better sum-of-squares degree lower bounds on $\ell_1$-approximation of $f_k$; (2) a proof that Grigoriev's lower bound on the degree of Positivstellensatz refutations for the knapsack problem is optimal, answering an open question from his work; (3) bounds on the query complexity of quantum algorithms whose expected output approximates such functions.

研究动机与目标

• 确定在布尔超立方体上逼近对称二次函数 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ 所需的最小平方和多项式次数。
• 为这些函数的 $\ell_\infty$ 和 $\ell_1$-近似 SOS 次数建立紧致界。
• 解决复杂性理论中的开放问题，包括格里戈里耶夫的 Positivstellensatz 下界对 knapsack 问题的最优性，以及 SOS 方法对多面体扩展的限制。
• 为近似此类对称函数的量子算法的查询复杂性提供新界。

提出的方法

• 使用单变量多项式技术和对称函数恒等式，分析对称函数 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ 的 SOS 近似。
• 应用 Blekherman 定理于非负多项式，构造 $A_k(\mathbf{x}) = |\mathbf{x}|(|\mathbf{x}|-1)\cdots(|\mathbf{x}|-k+1)$ 的低次 SOS 表示。
• 利用恒等式 $A_{k+2}(\mathbf{x}) + b = g(\mathbf{x})(|\mathbf{x}| - r)$，其中 $b = -r(r-1)\cdots(r-k-1)$，为 knapsack 系统构造一个次数为 $2k+4$ 的 Positivstellensatz 反证。
• 将 SOS 近似问题转化为半定规划可行性问题，利用矩矩阵和次数 $\leq d$ 的单项式基 $m_x$。
• 通过 $\ell_1$-范数近似 $\sum_x |f(x) - h(x)| \leq \varepsilon$，其中 $\varepsilon = \delta 2^n$ 对应该平均误差 $\delta$。
• 利用 $e_k(x_1^2, \dots, x_n^2)$ 是次数为 $2k$ 的 SOS 这一事实，并将 $A_k$ 与初等对称多项式及约束 $x_i^2 - x_i = 0$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\ell_\infty$-范数下，$\varepsilon$-近似 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ 所需的最小 SOS 次数是多少？
• RQ2 在 $\ell_1$-范数下，$\varepsilon$-近似 $f_k$ 所需的最小 SOS 次数是多少？其随 $k$ 和 $n$ 的变化规律如何？
• RQ3 格里戈里耶夫对 knapsack 系统的 Positivstellensatz 反证所给出的 $2k+4$ 次下界是否紧致？
• RQ4 能否利用 $f_k$ 的 SOS 次数来证明对相关多面体（如相关性多面体和 TSP 多面体）的 SDP 层次结构的限制？
• RQ5 这些 SOS 界对近似对称函数的非自适应量子算法的查询复杂性有何影响？

主要发现

• $f_k$ 的 $\ell_1$-近似 SOS 次数为 $\Theta(\sqrt{k(n-k)})$，与函数的精确次数一致，表明该界是紧致的。
• $f_k$ 的 $\ell_\infty$-近似 SOS 次数为 $\Theta(\sqrt{k(n-k)} + \sqrt{n\log(1/\varepsilon)})$，与对称布尔函数的近似次数类似。
• 格里戈里耶夫对 knapsack 系统的 Positivstellensatz 反证所给出的 $2k+4$ 次下界是紧致的，因为存在一个次数为 $2k+4$ 的反证。
• $f_k$ 的 SOS 次数无法用于在相关性多面体和 TSP 多面体的 $\ell_1$-近似下界方面超越 Lee、Raghavendra 和 Steurer 已有的结果。
• 结果表明，非自适应地近似 $f_k$ 的量子算法至少需要 $\Omega(\sqrt{k(n-k)})$ 次查询，与 OR 函数的已知下界一致。
• 对 $k < r < k+1$ 构造出一个次数为 $2k+4$ 的 Positivstellensatz 反证，证实了格里戈里耶夫界是紧致的，并解决了 [Gri01] 中的一个开放问题。