[论文解读] On the sums of series of reciprocals

Leonhard Euler|ArXiv.org|Jun 20, 2005

History and Theory of Mathematics被引用 3

一句话总结

欧拉通过将正弦级数的根与化圆为方问题联系起来，推导出整数倒数幂和的精确闭式表达式，特别是偶数次幂的情形。他证明了自然数平方倒数之和等于 π²/6，并利用伯努利数将这一结果推广至更高阶偶数次幂，奠定了解析数论与特殊函数领域的基础性成果。

ABSTRACT

This translation has been published in Stephen Hawking (ed.), "God Created the Integers", published in 2007 by Running Press. There may have been some changes to the final published version and this copy. This is a translation from the Latin original, "De summis serierum reciprocarum" (1735). E41 in the Enestrom index. In this paper Euler finds an exact expression for the sum of the squares of the reciprocals of the positive integers, namely pi^2/6. He shows this by applying Newton's identities relating the roots and coefficients of polynomials to the power series of the sine function. Indeed, in other words this result is zeta(2)=pi^2/6, and Euler also works out zeta(4),zeta(6),...,zeta(12). His method will work out zeta(2n) for all n, but he does not give a general expression for zeta(2n); he gives a general expression involving the Bernoulli numbers in a latter paper.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：为无穷级数 ∑1/n^{2k} 寻找闭式表达式，尽管此前已历经广泛努力却始终未能解决。
• 建立倒数幂和与圆的几何性质（特别是圆周率 π）之间的深刻联系。
• 提出一种基于三角函数级数的无穷乘积分解的新方法，以提取根的对称和。
• 将解推广至所有偶数次幂，揭示出与伯努利数及黎曼ζ函数相关的规律。
• 为 ζ(2)、ζ(4)、ζ(6) 等提供精确的解析表达式，将分析学、数论与几何学联系起来。

提出的方法

• 将正弦函数表示为弧长 s 的无穷级数：sin(s) = s - s³/(3!) + s⁵/(5!) - s⁷/(7!) + ⋯
• 将正弦级数重新解释为关于 s 的超越方程，其无穷多个根对应于具有相同正弦值 y 的所有弧长。
• 将方程因式分解为所有根的无穷乘积形式：(1 - s/A)(1 - s/B)(1 - s/C)⋯，其中 A、B、C、… 为根。
• 展开无穷乘积，并将系数与原级数对比，推导出根的倒数之和的对称函数。
• 利用已知的 sin(s)/s 的级数展开，识别出 s²、s⁴ 等项的系数，并将其与 ∑1/n²、∑1/n⁴ 等和联系起来。
• 通过认识到 ∑1/n² = π²/6，将该结果推广至更高阶偶数次幂，借助涉及伯努利数的递推关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 ∑_{n=1}^∞ 1/n² 的精确值是多少？其解析推导过程如何？
• RQ2 能否为偶数次幂 ∑_{n=1}^∞ 1/n^{2k} 找到一般公式？
• RQ3 倒数偶次幂和如何与圆周率 π 及化圆为方问题相关联？
• RQ4 正弦函数的无穷乘积展开在推导这些和中起到什么作用？
• RQ5 正弦函数的幂级数系数能否用于提取根的对称函数？它们代表什么意义？

主要发现

• 自然数平方倒数之和恰好为 π²/6，即 ∑1/n² = π²/6。
• 自然数四次方倒数之和为 π⁴/90，即 ∑1/n⁴ = π⁴/90。
• 自然数六次方倒数之和为 π⁶/945，即 ∑1/n⁶ = π⁶/945。
• 自然数八次方倒数之和为 π⁸/9450，即 ∑1/n⁸ = π⁸/9450。
• 自然数十次方倒数之和为 π¹⁰/93555，即 ∑1/n¹⁰ = π¹⁰/93555。
• 对于十二次方，和为 (691/6825) × π¹²/93555，表明伯努利数 B₁₂ = 691/2730 出现在系数中。