[论文解读] On the superselection theory of the Weyl algebra for diffeomorphism invariant quantum gauge theories

Hanno Sahlmann, Thomas Thiemann|ArXiv.org|Feb 21, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用 46

一句话总结

该论文通过引入一种类似于 Weyl 代数的新 $C^*$-代数，在温和的附加假设下，确立了微分同胚不变量子规范场论中 Ashtekar-Lewandowski (AL) 表示的唯一性。它证明了，在酉等价意义下，AL 表示是唯一满足不可约性和连续性条件的微分同胚与规范不变表示，从而解决了环量子重力中长期存在的一个问题。

ABSTRACT

Much of the work in loop quantum gravity and quantum geometry rests on a mathematically rigorous integration theory on spaces of distributional connections. Most notably, a diffeomorphism invariant representation of the algebra of basic observables of the theory, the Ashtekar-Lewandowski representation, has been constructed. This representation is singled out by its mathematical elegance, and up to now, no other diffeomorphism invariant representation has been constructed. This raises the question whether it is unique in a precise sense. In the present article we take steps towards answering this question. Our main result is that upon imposing relatively mild additional assumptions, the AL-representation is indeed unique. As an important tool which is also interesting in its own right, we introduce a C*-algebra which is very similar to the Weyl algebra used in the canonical quantization of free quantum field theories.

研究动机与目标

• 确定 Ashtekar-Lewandowski (AL) 表示是否是规范场论中唯一的微分同胚与规范不变表示。
• 解决尽管 AL 表示在数学上优美且在物理上突出，却缺乏其他表示形式的问题。
• 在微分同胚与规范不变性之外，于物理上合理且温和的附加假设下，建立唯一性。
• 为背景无关规范场论开发一种类似于 Weyl 代数的新 $C^*$-代数框架。
• 为环量子重力背后的表示理论提供严格的数学基础。

提出的方法

• 引入一种与自由量子场论中使用的 Weyl 代数极为相似的 $C^*$-代数结构，专用于量子规范场论的全息-通量代数。
• 对表示施加不可约性、微分同胚不变性与规范不变性条件，以及技术性的连续性与可测性假设。
• 利用规范群与微分同胚群上的平均化技术，将问题简化为不变态，并利用 Peter-Weyl 定理。
• 通过李代数生成元的指数映射构造通量算子的 $C^\infty$-向量，从而在表示空间中使用光滑向量。
• 应用 Peter-Weyl 定理分解矩阵系数，证明广义联络空间上的测度必须是 Ashtekar-Lewandowski 测度 $\mu_0$。
• 证明在完整对称群作用下唯一的不变态必为 AL 测度，从而得出表示的酉等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ashtekar-Lewandowski 表示是否是量子引力中全息-通量代数的唯一微分同胚与规范不变表示？
• RQ2 能否在物理上合理且温和的附加假设下确立 AL 表示的唯一性？
• RQ3 何种代数结构可作为背景无关量子场论中 Weyl 代数的严格类比？
• RQ4 如何系统地构造通量算子的 $C^\infty$-向量，以确保光滑性并兼容对称性条件？
• RQ5 对规范群与微分同胚群的平均化程序在多大程度上限制了广义联络空间上可能的不变测度？

主要发现

• 在不可约性、微分同胚不变性、规范不变性以及矩阵系数连续性的假设下，Ashtekar-Lewandowski 表示在酉等价意义下是唯一的。
• 广义联络空间上唯一的可能不变测度是 Ashtekar-Lewandowski 测度 $\mu_0$，该测度同时具有微分同胚与规范不变性。
• 通过 $Y^+_j(S)$ 生成元构造通量算子的 $C^\infty$-向量，可得到一个在通量代数作用下不变的稠密光滑定义域。
• 对规范群进行平均化消除了对离散微分同胚子群的依赖以实现不变性，从而简化了唯一性证明。
• 应用 Peter-Weyl 定理表明，表示的矩阵系数必须与结构群上的 Haar 测度相容，从而得出 $\mu_\nu = \mu_0$。
• 证明表明，任何满足所述条件的表示必与 AL 表示酉等价，从而确认了其物理与数学上的优先地位。