[论文解读] On the Supersymmetric Spectra of two Planar Integrable Quantum Systems

M. A. González León, M. de la Torre Mayado+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文利用非旋转对称算符，分析了两个平面量子系统——开普勒/库仑和欧拉/库仑——的超对称谱。通过解析方法证明，超对称修正的欧拉/库仑系统是超对称开普勒/库仑系统的准同谱形变，后者可视为前者在两中心距离趋于零时的极限情形。

ABSTRACT

Two planar supersymmetric quantum mechanical systems built around the quantum integrable Kepler/Coulomb and Euler/Coulomb problems are analyzed in depth. The supersymmetric spectra of both systems are unveiled, profiting from symmetry operators not related to invariance with respect to rotations. It is shown analytically how the first problem arises at the limit of zero distance between the centers of the second problem. It appears that the supersymmetric modified Euler/Coulomb problem is a quasi-isospectral deformation of the supersymmetric Kepler/Coulomb problem.

研究动机与目标

• 研究两个可积平面量子系统的超对称谱：开普勒/库仑问题与欧拉/库仑问题。
• 探讨在超越旋转不变性的对称算符下，超对称性在这些系统中的涌现机制。
• 建立两个系统之间的谱关系，特别是在两中心坍缩为一点的极限情形下。
• 证明修正的欧拉/库仑系统是开普勒/库仑系统的准同谱形变。
• 将二维非平凡可分离系统中超对称量子力学的理解，从一维模型拓展至更复杂情形。

提出的方法

• 采用二维 ${\cal N}=2$ 超对称量子力学，包含两个玻色子自由度与两个费米子自由度。
• 利用克利福德代数表示构造超电荷与超对称哈密顿量。
• 在薛定谔方程中使用椭圆坐标与极坐标实现变量分离，适用于两个系统。
• 在欧拉/库仑情形下，通过耦合的拉扎维与惠塔克-希尔方程求解束缚态问题。
• 应用因式分解方法与谱分解技术，分析散射态与零模。
• 通过两中心间距趋于零的极限，建立欧拉/库仑系统与开普勒/库仑系统之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用非旋转对称算符时，平面开普勒/库仑与欧拉/库仑系统的超对称谱有何差异？
• RQ2 超对称修正的欧拉/库仑系统与超对称开普勒/库仑系统之间存在何种谱关系？
• RQ3 在两中心间距趋于零的极限下，两中心系统的超对称谱如何退化为单中心系统的谱？
• RQ4 是否能通过椭圆坐标下的变量分离，完全刻画欧拉/库仑问题的超对称结构？
• RQ5 为何两中心问题中存在费米子零模，而单中心问题中不存在？这在曲线坐标系中超对称性的几何作用中意味着什么？

主要发现

• 证明了超对称修正的欧拉/库仑问题为超对称开普勒/库仑问题的准同谱形变。
• 当欧拉/库仑系统的两中心距离趋于零时，开普勒/库仑系统作为其极限情形出现。
• 欧拉/库仑系统的束缚态由耦合的拉扎维与惠塔克-希尔方程的解构建而成。
• 超对称希尔伯特空间结构比非超对称情形更复杂，其在 $N$ 维空间中包含 $2^N$ 个子空间。
• 两中心问题中存在费米子零模，而单中心问题中不存在，表明几何在超对称性中起着非平凡作用。
• 谱分解结果表明，超对称霍奇结构得以保持，正交与非正交模式对谱有独立贡献。