[论文解读] On the support of the free additive convolution

Zhigang Bao, László Erdős+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文证明了具有单区间支撑的两个概率测度的自由卷积仍保持在单个区间上，且当原始测度表现出指数介于 -1 到 1 之间的幂律行为时，其密度在端点处以平方根形式趋于零。该结果通过复分析与解析下拉法推导得出，证实了随机矩阵理论中最优局部定律所必需的关键正则性条件。

ABSTRACT

We consider the free additive convolution of two probability measures $μ$ and $ν$ on the real line and show that $μ\boxplusν$ is supported on a single interval if $μ$ and $ν$ each has single interval support. Moreover, the density of $μ\boxplusν$ is proven to vanish as a square root near the edges of its support if both $μ$ and $ν$ have power law behavior with exponents between $-1$ and $1$ near their edges. In particular, these results show the ubiquity of the conditions in our recent work on optimal local law at the spectral edges for addition of random matrices [4].

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：两个具有单区间支撑的测度的自由加法卷积是否仍保持在单个区间上。
• 刻画当原始测度在其边缘附近呈现幂律行为时，自由加法卷积密度的边缘行为。
• 为近期关于随机矩阵和在谱边缘处最优局部定律所采用的正则性假设提供严格依据。
• 建立在随机矩阵理论中自然出现的条件下，平方根边缘衰减具有普遍性。

提出的方法

• 利用由斯蒂尔杰斯变换导出的解析下拉函数，将自由卷积与原始测度联系起来。
• 应用复分析与解析隐函数定理，研究下拉函数在谱边缘附近的性质。
• 对下拉函数在下边缘处进行泰勒展开，推导其渐近行为。
• 使用斯蒂尔杰斯反演公式，从下拉函数的虚部恢复自由卷积的密度。
• 分析下拉函数的二阶导数，以确认在边缘处呈现平方根衰减。
• 在雅可比型测度上施加假设 2.1，要求其在边缘附近具有指数在 (-1,1) 内的幂律指数，以保证正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个分别支持在单个区间的概率测度的自由加法卷积是否仍支持在单个区间上？
• RQ2 当原始测度在其边缘附近具有指数在 (-1,1) 内的幂律行为时，自由加法卷积密度的精确边缘行为是什么？
• RQ3 近期关于随机矩阵和在谱边缘处最优局部定律所假设的正则性与支撑条件是否自然满足？
• RQ4 能否从底层解析结构严格推导出自由卷积边缘的平方根衰减？

主要发现

• 具有单区间支撑的两个测度的自由加法卷积本身也支持在单个区间上。
• 当原始测度在其边缘附近具有指数介于 -1 到 1 之间的幂律行为时，自由加法卷积的密度在支撑区间的两个端点处均以平方根形式趋于零。
• 通过在谱边缘附近对下拉函数进行二阶泰勒展开，确认了边缘处的平方根衰减。
• 证明了下拉函数在边缘邻域内是良定义且解析的，从而支持严格的渐近分析。
• 自由卷积的斯蒂尔杰斯变换的虚部在边缘附近有正的上下界，确保了密度行为良好。
• 该结果证实了近期关于随机矩阵和在谱边缘处最优局部定律所采用的关键假设，表明在标准随机矩阵条件下这些假设自然成立。