[论文解读] On the Symmetries of and Equivalence Test for Design Polynomials

Jesko Hüttenhain|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 6被引用 1

一句话总结

本文确定了复数域上 n 个变量的第 r 个初等对称多项式在 2 < r < n 时的完整稳定子群，证明其同构于对称群 $S_n$ 与 r 次单位根的循环群 $ℤ_r$ 的半直积。该稳定子群恰好由变量的置换和同时乘以 r 次单位根构成，不包含其他线性对称性。该结果通过刻画初等对称多项式的对称群，填补了几何复杂性理论中的一个基础性空白。

ABSTRACT

In a Nisan-Wigderson design polynomial (in short, a design polynomial), every pair of monomials share a few common variables. A useful example of such a polynomial, introduced in [Neeraj Kayal et al., 2014], is the following: NW_{d,k}({x}) = sum_{h in F_d[z], deg(h) <= k}{ prod_{i=0}^{d-1}{x_{i, h(i)}}}, where d is a prime, F_d is the finite field with d elements, and k << d. The degree of the gcd of every pair of monomials in NW_{d,k} is at most k. For concreteness, we fix k = ceil[sqrt{d}]. The family of polynomials NW := {NW_{d,k} : d is a prime} and close variants of it have been used as hard explicit polynomial families in several recent arithmetic circuit lower bound proofs. But, unlike the permanent, very little is known about the various structural and algorithmic/complexity aspects of NW beyond the fact that NW in VNP. Is NW_{d,k} characterized by its symmetries? Is it circuit-testable, i.e., given a circuit C can we check efficiently if C computes NW_{d,k}? What is the complexity of equivalence test for NW, i.e., given black-box access to a f in F[{x}], can we check efficiently if there exists an invertible linear transformation A such that f = NW_{d,k}(A * {x})? Characterization of polynomials by their symmetries plays a central role in the geometric complexity theory program. Here, we answer the first two questions and partially answer the third. We show that NW_{d,k} is characterized by its group of symmetries over C, but not over R. We also show that NW_{d,k} is characterized by circuit identities which implies that NW_{d,k} is circuit-testable in randomized polynomial time. As another application of this characterization, we obtain the "flip theorem" for NW. We give an efficient equivalence test for NW in the case where the transformation A is a block-diagonal permutation-scaling matrix. The design of this algorithm is facilitated by an almost complete understanding of the group of symmetries of NW_{d,k}: We show that if A is in the group of symmetries of NW_{d,k} then A = D * P, where D and P are diagonal and permutation matrices respectively. This is proved by completely characterizing the Lie algebra of NW_{d,k}, and using an interplay between the Hessian of NW_{d,k} and the evaluation dimension.

研究动机与目标

• 确定复数域上 n 个变量的第 r 个初等对称多项式在 $2 < r < n$ 时的完整稳定子群。
• 通过显式识别保持 $\mathrm{ESPr}$ 的对称性，填补几何复杂性理论（GCT）中的一个基础性空白。
• 证明保持 $\mathrm{ESPr}$ 的唯一线性变换是变量的置换和同时乘以 r 次单位根。
• 分析 $\mathrm{ESPr}$ 的轨道闭包的坐标环中的权，表明其生成的格为 $\{\lambda \in \Lambda \mid \lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}\}$。

提出的方法

• 通过 $\mathrm{GL}_n$ 在多项式环 $\mathbb{C}[X_1, \dots, X_n]$ 上的作用，将稳定子群 $H_r$ 定义为满足 $\mathrm{ESPr} \circ h = \mathrm{ESPr}$ 的矩阵 $h$ 的集合。
• 利用多项式次数分析，通过 $f_{a,b}(X) = \mathrm{ESPr}(Xa + b)$ 证明：对所有 $b$ 有 $\deg(f_{a,b}) \leq 1$ 当且仅当 $\rho(a) \leq 1$，其中 $\rho(a)$ 表示 $a$ 中非零项的个数。
• 对初等对称多项式 $\mathrm{ESP}_k$ 应用组合论证，表明零化条件迫使 $a$ 至多有一个非零项，从而限制可能的对称性。
• 使用 $\mathrm{GL}_n$ 的表示理论，特别是代数 Peter-Weyl 定理和权空间分解，分析轨道闭包的坐标环。
• 识别对称幂 $\mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ 和不可约表示 $V(\lambda)$ 中的 $H_r$-不变向量，表明 $V(\lambda)^{H_r} \neq \{0\}$ 仅当 $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}$ 时成立。
• 在 $\mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ 和 $V(\lambda_i)$ 中显式构造 $H_r$-不变向量，其中 $\lambda_i = (\ell_i, 1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ 且 $\ell_i = r \cdot n(n+1)/2 - i$，证明其生成所需的权格。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $2 < r < n$，保持第 r 个初等对称多项式 $\mathrm{ESPr}$ 的完整线性变换群是什么？
• RQ2 除了变量置换和同时乘以 r 次单位根外，是否存在其他保持 $\mathrm{ESPr}$ 的线性对称性？
• RQ3 在 $\mathrm{ESPr}$ 的轨道闭包的坐标环中出现的权如何与稳定子群 $H_r$ 相关联？
• RQ4 能否根据稳定子群的结构完全表征轨道闭包的权格？

主要发现

• 多项式 $\mathrm{ESPr}$ 的稳定子群 $H_r$ 同构于 $S_n \rtimes \mathbb{Z}_r$，其中 $S_n$ 通过置换矩阵作用，$\mathbb{Z}_r$ 通过具有 r 次单位根的对角矩阵作用。
• 除了 $S_n \rtimes \mathbb{Z}_r$ 中的变换外，不存在其他保持 $\mathrm{ESPr}$ 的线性变换，证明该群是所有对称性中的最大群。
• 坐标环 $\mathbb{C}[\Omega]$ 中出现的权生成格 $\{\lambda \in \Lambda \mid \lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}\}$，其中 $\Omega = \mathrm{GL}_n.\mathrm{ESPr}$。
• 对每个 $i$，向量 $e_i^r \in \mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ 是 $H_r$-不变的，确认稳定子群包含 $\mathbb{Z}_r$ 的标量作用。
• 对每个 $i = 1, \dots, n-1$，不可约表示 $V(\lambda_i)$，其中 $\lambda_i = (\ell_i, 1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ 且 $\ell_i = r \cdot n(n+1)/2 - i$，均存在非零 $H_r$-不变向量。
• 权格由第一列 $(r, 0, \dots, 0)$ 和其余 $n-1$ 列 $(\ell_1, 1, \dots, 1), \dots, (\ell_{n-1}, 1, \dots, 1)$ 生成，确认 $\widetilde{\Lambda}_r = \Lambda_r$。