[论文解读] On the symmetry classes of the first covariant derivatives of tensor fields

Bernd Fiedler|ArXiv.org|Jan 6, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 3

一句话总结

本论文利用 Littlewood-Richardson 乘积与 Young 对称化子，表征了张量场一阶协变导数的对称性类。结果表明，∇S − sym(∇S) 与 ∇A − alt(∇A) 的对称性类分别对应于 Young 图 (r,1) 和 (2,1^{r−1})，其中后者可由 Young 对称化子生成，而前者不可，从而为代数协变导数曲率张量提供了关键生成元。

ABSTRACT

We show that the symmetry classes of torsion-free covariant derivatives $ abla T$ of r-times covariant tensor fields T can be characterized by Littlewood-Richardson products $σ[1]$ where $σ$ is a representation of the symmetric group $S_r$ which is connected with the symmetry class of T. If $σ= [λ]$ is irreducible then $σ[1]$ has a multiplicity free reduction $[λ][1] = \sum [μ]$ and all primitive idempotents belonging to that sum can be calculated from a generating idempotent e of the symmetry class of T by means of the irreducible characters or of a discrete Fourier transform of $S_{r+1}$. We apply these facts to derivatives $ abla S$, $ abla A$ of symmetric or alternating tensor fields. The symmetry classes of the differences $ abla S - sym( abla S)$ and $ abla A - alt( abla A)$ are characterized by Young frames (r, 1) and (2, 1^{r-1}), respectively. However, while the symmetry class of $ abla A - alt( abla A)$ can be generated by Young symmetrizers of (2, 1^{r-1}), no Young symmetrizer of (r, 1) generates the symmetry class of $ abla S - sym( abla S)$. Furthermore we show in the case r = 2 that $ abla S - sym( abla S)$ and $ abla A - alt( abla A)$ can be applied in generator formulas of algebraic covariant derivative curvature tensors. For certain symbolic calculations we used the Mathematica packages Ricci and PERMS.

研究动机与目标

• 表征 r 阶协变张量场 T 的一阶协变导数 ∇T 的对称性类。
• 确定特定 Young 图的 Young 对称化子是否能生成 ∇S − sym(∇S) 与 ∇A − alt(∇A) 的对称性类。
• 将上述结果应用于代数协变导数曲率张量的生成公式。
• 提供显式计算工具，并利用 Mathematica 软件包 Ricci 与 PERMS 进行符号验证。

提出的方法

• 利用对称群 𝕊r 的表示理论，通过 Littlewood-Richardson 乘积 σ[1]（其中 σ 对应于 T 的对称性类）将 T 的对称性类与 ∇T 的对称性类联系起来。
• 应用 𝕊r+1 上的不可约特征标与离散傅里叶变换，计算 ∇T 对称性类的本原幂等元。
• 利用与 Young 图 (r,1) 和 (2,1^{r−1}) 相关的 Young 对称化子，分析 ∇S − sym(∇S) 与 ∇A − alt(∇A) 的对称结构。
• 通过 Mathematica 软件包 Ricci 与 PERMS 进行符号计算，验证 r=2,3,4 时的结果。
• 分析幂等元 h_a（𝕊r+1 的对称化子）作用于 Young 对称化子 e_t 的结果，以判断其是否使 h_a 消去或保持不变。
• 利用群代数元素与幂等元推导 f·h_s 与 f·h_a 的显式表达式，表明 ∇S − sym(∇S) 的对称性类中存在非平凡结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 ∇S − sym(∇S) 的对称性类能否由 (r,1) 图的 Young 对称化子生成？
• RQ2 ∇A − alt(∇A) 的对称性类是否能由 (2,1^{r−1}) 图的 Young 对称化子生成？
• RQ3 当 σ 为不可约时，Littlewood-Richardson 乘积 σ[1] 如何描述 ∇T 的对称性类？
• RQ4 T 的对称性类的生成幂等元 e 在构造 ∇T 对称性类的幂等元中起什么作用？
• RQ5 ∇S − sym(∇S) 与 ∇A − alt(∇A) 能否作为代数协变导数曲率张量的生成元？

主要发现

• ∇A − alt(∇A) 的对称性类对应于 Young 图 (2,1^{r−1})，且可由相应的 Young 对称化子生成。
• ∇S − sym(∇S) 的对称性类对应于 Young 图 (r,1)，但该图的任何 Young 对称化子均无法生成该类。
• 当 r=2 时，∇S − sym(∇S) 与 ∇A − alt(∇A) 均可作为代数协变导数曲率张量公式中的生成元。
• 当 r=2 时，对称化子 h_a 作用于 (2,1^{r−1}) 图的 Young 对称化子 e_t，有 6 个标准表中 2 个满足 h_a·e_t = h_a；r=3 与 r=4 时亦呈现类似规律。
• 使用 PERMS 的符号计算表明，当 r=4 时，24 个表中满足 h_a·e_t = h_a，72 个表中满足 h_a·e_t = 0，表明生成行为分布不均匀。
• 表达式 f·h_a = z·e_a − f_a 表明 f·h_a ≠ 0，证实 ∇A − alt(∇A) 的对称性类非平凡，且不被幂等元 f 消去。